Serie di Analisi I
Ciao a tutti! Un amico mio mi ha chiesto di aiutarlo con una serie particolare... E non vi nascondo che mi ha messo in difficoltà! La serie in questione è:
$ sum e - (1+1/n)^n $
Ecco cosa abbiamo collezionato
1) Termine generale infinitesimo
2) Criterio della radice -> 1
3) Criterio del rapporto viene una forma indeterminata $0/0$
Ora, su quest'ultimo punto non ci ho potuto dare un'occhiata più precisa... quindi non vi assicuro niente!
Avreste in mente qualche criterio che potrebbe tornare utile? A me è venuto in mente il lemma che dimostrava che la successione $(1+1/n)^n$ è monotona crescente, solo che non so come possa tornare utile!
$ sum e - (1+1/n)^n $
Ecco cosa abbiamo collezionato
1) Termine generale infinitesimo
2) Criterio della radice -> 1
3) Criterio del rapporto viene una forma indeterminata $0/0$
Ora, su quest'ultimo punto non ci ho potuto dare un'occhiata più precisa... quindi non vi assicuro niente!
Avreste in mente qualche criterio che potrebbe tornare utile? A me è venuto in mente il lemma che dimostrava che la successione $(1+1/n)^n$ è monotona crescente, solo che non so come possa tornare utile!
Risposte
ma il criterio della radice come ti viene >1? se cosi fosse la serie diverge....
Scusa, quella freccia è un pò ambigua, volevo dire che viene 1.
Avete provato a sfruttare la serie di MacLaurin della funzione [tex]$e-(1+x)^\frac{1}{x}$[/tex] per ottenere una stima asintotica intorno a [tex]$0$[/tex]?
La butto li, magari è una scemenza.
Se vedi
$e - (1+1/n)^n = ((e)^(1/n)-1-1/n)*(...)$ usi insomma la formula della scomposizione....
E poi però moltiplichi non in modo da ottenere la prima espressione, cioè $e - (1+1/n)^n$, ma in modo da ottenere $((e)^(1/n)-1-1/n)*B_n$ dove la successione varia all'interno di $(...)$. A questo punto potresti provare a dimostrare che la serie iniziale che hai ottenuto come somma di serie del tipo $sum ((e)^(1/n)-1-1/n)*B_n$ è fatta da una somma di serie convergenti (o divergenti) (la somma è quella che ti sei ricavato come ti ho detto io). Di conseguenza avrai il comportamento della serie iniziale (è una serie a termini positivi quindi sicuramente è regolare).
Se vedi
$e - (1+1/n)^n = ((e)^(1/n)-1-1/n)*(...)$ usi insomma la formula della scomposizione....
E poi però moltiplichi non in modo da ottenere la prima espressione, cioè $e - (1+1/n)^n$, ma in modo da ottenere $((e)^(1/n)-1-1/n)*B_n$ dove la successione varia all'interno di $(...)$. A questo punto potresti provare a dimostrare che la serie iniziale che hai ottenuto come somma di serie del tipo $sum ((e)^(1/n)-1-1/n)*B_n$ è fatta da una somma di serie convergenti (o divergenti) (la somma è quella che ti sei ricavato come ti ho detto io). Di conseguenza avrai il comportamento della serie iniziale (è una serie a termini positivi quindi sicuramente è regolare).
Seguite i consigli di Gugo ....
$(1+1/n)^n=e^{n ln(1+1/n)}=$
Dunque ....
$(1+1/n)^n=e^{n ln(1+1/n)}=$
Dunque ....
Grandi ragazzi, grazie a tutti!
Comincio a lavorarci su
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