Serie dei quadrati
Sia [tex]a_n \geq 0[/tex] e si supponga convergente la serie corrispondente. Si denoti con \(\displaystyle S \) la somma. Si dimostri che anche la serie degli [tex]a^2_n[/tex] converge e che la sua somma è [tex]\leq S^2[/tex].
Risposte
Non si capisce il senso del post.
Vuoi proporre un esercizio di cui hai la soluzione, oppure vuoi che noi lo risolviamo per te?
Vuoi proporre un esercizio di cui hai la soluzione, oppure vuoi che noi lo risolviamo per te?
Non conosco una soluzione e volevo proporvelo.
Non è vero che se $sum_(n) a_n =s$ allora $sum_n a_n ^2 =s^2$. Prendi $a_n=1/n^2$
Hai ragione, scusa ho sbagliato a scrivere il problema.
Adesso ho corretto, la somma deve essere minore o uguale non uguale.
Adesso ho corretto, la somma deve essere minore o uguale non uguale.
Beh, è cosa nota che se \(\sum a_n\) è assolutamente convergente e se \((b_n)\) è limitata risulta:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_nb_n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n b_n| \leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\ |b_n|\ \cdot \sum_{n=0}^\infty |a_n|\; ;
\]
in particolare se prendi \(b_n =a_n\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\) ottieni la convergenza di \(\sum a_n^2\).
Per quanto riguarda la stima per \(\sum a_n^2\), ora non saprei dire.
\[
\sum_{n=0}^\infty a_nb_n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n b_n| \leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\ |b_n|\ \cdot \sum_{n=0}^\infty |a_n|\; ;
\]
in particolare se prendi \(b_n =a_n\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\) ottieni la convergenza di \(\sum a_n^2\).
Per quanto riguarda la stima per \(\sum a_n^2\), ora non saprei dire.
Io direi che se $s_N=\sum_{n=0}^N a_n,\ S_N=\sum_{n=0}^N a^2_n$ allora risulta (essendo $a_n\ge 0$ per ogni $n$)
$s_n^2=(\sum_{n=0}^N a_n)^2\ge \sum_{n=0}^N a_n^2=S_N$
da cui una volta assicurata la convergenza, passando al limite per $N\to+\infty$ si ottiene la stima desiderata.
$s_n^2=(\sum_{n=0}^N a_n)^2\ge \sum_{n=0}^N a_n^2=S_N$
da cui una volta assicurata la convergenza, passando al limite per $N\to+\infty$ si ottiene la stima desiderata.
La questione era semplice, il mio errore è stato di considerare il problema nel modo in cui, erroneamente, l'avevo scritto inizialmente. Cioè con l'uguaglianza invece del maggiore o uguale.
Oppure, alternativamente al procedimento di ciampax, si poteva ragionare così.
Dalla maggiorazione provata in precedenza si ottiene:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n^2\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\ a_n\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n\; ;
\]
d'altra parte \(a_n\to 0\), perché \(\sum a_n\) converge, ergo l'estremo superiore è un massimo e perciò:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n^2\leq \max_{n\in \mathbb{N}}\ a_n\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \leq \left( \sum_{n=0}^\infty a_n\right)\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n =\left( \sum_{n=0}^\infty a_n\right)^2\; .
\]
@Gi8:
Vero è che:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} =\frac{\pi^4}{90}<\frac{\pi^4}{36} =\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \right)^2\; ,
\]
quindi il tuo controesempio funziona.
Però un controesempio più semplice si ottiene considerando la serie geometrica di ragione \(\lambda \in ]0,1[\): infatti in tal caso:
\[
\sum_{n=0}^\infty \lambda^n =\frac{1}{1-\lambda} \qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty (\lambda^n)^2=\sum_{n=0}^\infty \lambda^{2n} =\frac{1}{1-\lambda^2}
\]
ed evidentemente è:
\[
\frac{1}{1-\lambda^2} <\left( \frac{1}{1-\lambda}\right)^2
\]
per ogni \(0<\lambda <1\).
Dalla maggiorazione provata in precedenza si ottiene:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n^2\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\ a_n\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n\; ;
\]
d'altra parte \(a_n\to 0\), perché \(\sum a_n\) converge, ergo l'estremo superiore è un massimo e perciò:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n^2\leq \max_{n\in \mathbb{N}}\ a_n\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \leq \left( \sum_{n=0}^\infty a_n\right)\ \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n =\left( \sum_{n=0}^\infty a_n\right)^2\; .
\]
@Gi8:
"Gi8":
Non è vero che se $sum_(n) a_n =s$ allora $sum_n a_n ^2 =s^2$. Prendi $a_n=1/n^2$
Vero è che:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} =\frac{\pi^4}{90}<\frac{\pi^4}{36} =\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \right)^2\; ,
\]
quindi il tuo controesempio funziona.
Però un controesempio più semplice si ottiene considerando la serie geometrica di ragione \(\lambda \in ]0,1[\): infatti in tal caso:
\[
\sum_{n=0}^\infty \lambda^n =\frac{1}{1-\lambda} \qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty (\lambda^n)^2=\sum_{n=0}^\infty \lambda^{2n} =\frac{1}{1-\lambda^2}
\]
ed evidentemente è:
\[
\frac{1}{1-\lambda^2} <\left( \frac{1}{1-\lambda}\right)^2
\]
per ogni \(0<\lambda <1\).
@gugo: non lo so... mi sembrava più "immediato" il mio. Questione di gusti ovviamente 
"Gi8":
@gugo: non lo so... mi sembrava più "immediato" il mio. Questione di gusti ovviamente
Certo, de gustibus...
Tuttavia per calcolare le \(\sum \frac{1}{n^2}\) e \(\sum \frac{1}{n^4}\) serve usare strumenti tipo serie di Fourier (si può fare anche con le serie di potenze, però servono ugualmente nozioni abbastanza sofisticate), mentre la somma della serie geometrica è elementare.
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