Serie da studiare
Salve a tutti, ho risolto questo esercizio con il test integrale di Cauchy.Mi chiedevo se fosse possibile risolverlo attraverso una maggiorazione o un altro criterio.Idee?
$ sum_(n =2\) 1/(sqrtn(ln(n))) $
Andrebbe bene questa maggiorazione ? :
$ sqrt(n)ln(n)n^2>sqrt(n)n^2 $ def.
$1/((sqrt(n)ln(n))n^2) <1/n^(3/2) $
E applico il criterio del confronto?
$ sum_(n =2\) 1/(sqrtn(ln(n))) $
Andrebbe bene questa maggiorazione ? :
$ sqrt(n)ln(n)n^2>sqrt(n)n^2 $ def.
$1/((sqrt(n)ln(n))n^2) <1/n^(3/2) $
E applico il criterio del confronto?
Risposte
Ciao Salvy,
Quella proposta è la serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 1/2 $ e $\beta = 1 $ e pertanto è divergente. Puoi dare un'occhiata per esempio qui.
Quella proposta è la serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 1/2 $ e $\beta = 1 $ e pertanto è divergente. Puoi dare un'occhiata per esempio qui.
"pilloeffe":
Ciao Salvy,
Quella proposta è la serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 1/2 $ e $\beta = 1 $ e pertanto è divergente. Puoi dare un'occhiata per esempio qui.
Si questo lo sapevo già, volevo capire se il metodo che ho utilizzato è corretto
"Salvy":
[...] volevo capire se il metodo che ho utilizzato è corretto
Se fosse corretto non ti risulterebbe convergente dato che invece è divergente...
"Salvy":
$ sqrt(n)ln(n)n^2>sqrt(n)n^2 $ def.
Devi maggiorare la quantità $\frac{1}{\sqrt{n}\ln n}$ per poter fare un confronto utile, non la quantità $\frac{1}{\sqrt{n} n^2 \ln n}$.
"Salvy":
$1/((sqrt(n)ln(n))n^2) <1/n^(3/2) $
Attenzione ai conti, si ha $\sqrt{n}n^2=n^{\frac{5}{2}}$ e non $n^{\frac{3}{2}}$; in questi confronti un errore di calcolo sull'esponente può compromettere tutto il risultato.
Hai ragione, ma esiste un modo per dimostrarlo? Cioè quale criterio si può utilizzare per arrivare al risultato?
"Mephlip":
[quote="Salvy"]$ sqrt(n)ln(n)n^2>sqrt(n)n^2 $ def.
Devi maggiorare la quantità $\frac{1}{\sqrt{n}\ln n}$ per poter fare un confronto utile, non la quantità $\frac{1}{\sqrt{n} n^2 \ln n}$.
"Salvy":
$1/((sqrt(n)ln(n))n^2) <1/n^(3/2) $
Attenzione ai conti, si ha $\sqrt{n}n^2=n^{\frac{5}{2}}$ e non $n^{\frac{3}{2}}$; in questi confronti un errore di calcolo sull'esponente può compromettere tutto il risultato.[/quote]Vabbè risulta sbagliato in ogni caso, come faccio a maggiorarla?
Io la approccerei con un confronto asintotico, confrontandola con $b_n := \frac{1}{n}$.
Comunque fissare gli errori è altrettanto importante, si capisce perché percorrere una certa strada non funziona e questo insegna tanto!
Comunque fissare gli errori è altrettanto importante, si capisce perché percorrere una certa strada non funziona e questo insegna tanto!
"Salvy":
come faccio a maggiorarla?
Così:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn ln(n)) > \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n $
"Mephlip":
Io la approccerei con un confronto asintotico, confrontandola con $b_n := \frac{1}{n}$.
Comunque fissare gli errori è altrettanto importante, si capisce perché percorrere una certa strada non funziona e questo insegna tanto!
Si ho capito dove ho sbagliato ma non riesco ancora a capire che tipo di confronto intendi...
"pilloeffe":
[quote="Salvy"]come faccio a maggiorarla?
Così:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn ln(n)) > \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n $[/quote]
Come arrivo a questo ragionamento?
C'è un criterio che si chiama criterio del confronto asintotico: all'inizio avevi chiesto "confronto o altro", quindi questo è un altro criterio diverso dal confronto (che è quello con le maggiorazioni, per intenderci).
Se non lo conosci, dovrebbe essere sul tuo libro di testo.
Se non lo conosci, dovrebbe essere sul tuo libro di testo.
"Mephlip":
C'è un criterio che si chiama criterio del confronto asintotico: all'inizio avevi chiesto "confronto o altro", quindi questo è un altro criterio diverso dal confronto (che è quello con le maggiorazioni, per intenderci).
Se non lo conosci, dovrebbe essere sul tuo libro di testo.
Ho capito probabilmente, ma come faccio a stimare $(1/(sqrt(n)ln(n))) $
Intendi il criterio in cui si usano le stime asintotiche giusto
$(1/(sqrt(n)ln(n)))~ 1/sqrt(n)$ quindi hanno lo stesso carattere?
Se usi il confronto asintotico non devi stimare, come dici giustamente; quello è un altro approccio al quale ti sta rispondendo pilloeffe, lascio la palla a lui 
Non è vero che $\frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$ per $n \to +\infty$, perché dici questo? Comunque la serie confronto l'avevo già suggerita precedentemente!
Non è vero che $\frac{1}{\sqrt{n} \ln n} \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$ per $n \to +\infty$, perché dici questo? Comunque la serie confronto l'avevo già suggerita precedentemente!
"Salvy":
Come arrivo a questo ragionamento?
Perché $\AA n >= 2 $ si ha $ln(n) < sqrt(n) \implies 1/ln(n) > 1/sqrt(n) $
"pilloeffe":
[quote="Salvy"]Come arrivo a questo ragionamento?
Perché $\AA n >= 2 $ si ha $ln(n) < sqrt(n) \implies 1/ln(n) > 1/sqrt(n) $[/quote]
E poi "moltiplichi" ambo i membri per $1/sqrt(n) $?
Beh se vuoi sì, ma in realtà non c'è niente da moltiplicare perché quel termine è già presente nella serie proposta, per cui facendo uso della disuguaglianza citata in un mio post precedente si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn ln(n)) > \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn \cdot sqrt(n)) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n $
$ \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn ln(n)) > \sum_{n = 2}^{+\infty}1/(sqrtn \cdot sqrt(n)) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n $
"Salvy":
$1/(sqrt(n)ln(n)) approx 1/sqrt(n)$
Dimostralo.
P.S.: L’errore grave è trascurare il logaritmo in un prodotto con una potenza come se fosse una somma.
Vero è che il logaritmo diverge mooolto lentamente, ma il suo contributo lo da.
"gugo82":
[quote="Salvy"]$1/(sqrt(n)ln(n)) approx 1/sqrt(n)$
Dimostralo.
P.S.: L’errore grave è trascurare il logaritmo in un prodotto con una potenza come se fosse una somma.
Vero è che il logaritmo diverge mooolto lentamente, ma il suo contributo lo da.[/quote]
Lo vedevo come somma, errore mio
Sì, è un tuo errore.
E però adesso voglio vedere come mi dimostri che non è possibile la relazione che hai postato.
E però adesso voglio vedere come mi dimostri che non è possibile la relazione che hai postato.
"gugo82":
Sì, è un tuo errore.
E però adesso voglio vedere come mi dimostri che non è possibile la relazione che hai postato.
Basta osservare che $ lim_(n -> +oo) $ $( 1/(sqrt(n)ln(n))) / (1/sqrt(n)) != 1 $ Per cui non sono asintoticamente equivalenti.
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