Serie - Criterio Del Confronto

[lovaj]

Buongiorno a tutti. E' la prima che scrivo su questo forum che più volte ho consultato, quindi perdonatemi se dovessi commettere qualche errore nell' usare le risorse che offre questa comunity.

Ormai prossimo al compitino che riguarda integrali e serie, mi sorge un dubbio:

Nel creterio del confronto per la risoluzione di serie a termini positivi, si ha una serie an e bn, tali che 0<=an<=bn, allora:

1) se la serie bn converge, allora la serie an converge
2) se la serie an diverge, allora la serie bn diverge

Da qui se ne ricava il seguente corollario:
1) $ lim_(n-> oo ) (an)/(bn)=0 $ se la serie bn converge allora la serie an converge
2) $lim_(n-> oo ) (an)/(bn)=oo $ se la serie an diverge, allora bn diverge
3) $lim_(n-> oo ) (an)/(bn)=l $ con l diverso da 0 e l< $oo$ le serie hanno lo stesso carattere

Ora ho un paio di domande:

1) Nei tre punti del corollario, la condizione 0<=an<=bn deve essere pur sempre valida, oppure è sufficente che le serie an e bn siano >=0?
2) Il punto 2) non sono sicuro che sia come ho scritto io, dato che su numerosi testi ho trovato scritto invece: se bn diverge allora an diverge. Mi sapete confermare quanto da me scritto?

Ringrazio in anticipo tutti coloro che risponderanno alla domanda, e scusatemi nel caso in cui abbia commesso qualche sgarro!

[Antimius]

In realtà, l'idea è quella di dimostrare proprio che valga $a_n <= b_n$ per rifarsi al teorema precedente e dimostrare il corollario.
Quindi, ad esempio, nel primo punto, siano $a_n$ e $b_n$ successioni positive. Applicando la definizione di limite, ottieni che, fissato $\epsilon=1$, esiste un indice $\nu _0$ t.c. $\forall n>= \nu_0$ (definitivamente) vale $a_n/b_n <1$.

Occhio che al secondo punto $a_n$ diverge SE $b_n$ diverge, non il contrario. Applica la definizione di limite e controlla tu stesso