Serie - criterio del confronto
Salve avrei un dubbio riguardo il criterio del confronto per le serie.
Leggendo sui libri e in rete, ho letto che per poterlo applicare bisogna avere due serie $\sum_{k=1}^N an$ e $\sum_{k=1}^N bn$ tale che $an <= bn $ e poi fare le diverse ipotesi..
Però ho trovato in rete alcuni esercizi (molti esercizi), dove non viene applicato il criterio anche con $an >= bn $..come possibile?
tipo per la serie $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1)$ che viene confrontata con $1/(2n)$, ovvero $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1) > 1/(2n) = (1/2)(1/n) $, dove risulta $bn= 1/(2n)$ la nostra serie di confronto che è MAGGIORE DI $an$ e non minore come è richiesto dal criterio..
cosa mi sfugge?
Leggendo sui libri e in rete, ho letto che per poterlo applicare bisogna avere due serie $\sum_{k=1}^N an$ e $\sum_{k=1}^N bn$ tale che $an <= bn $ e poi fare le diverse ipotesi..
Però ho trovato in rete alcuni esercizi (molti esercizi), dove non viene applicato il criterio anche con $an >= bn $..come possibile?
tipo per la serie $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1)$ che viene confrontata con $1/(2n)$, ovvero $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1) > 1/(2n) = (1/2)(1/n) $, dove risulta $bn= 1/(2n)$ la nostra serie di confronto che è MAGGIORE DI $an$ e non minore come è richiesto dal criterio..
cosa mi sfugge?
Risposte
Ciao.
Il criterio del confronto relativo alle serie si applica cercando una serie maggiorante o minorante rispetto ad una serie data a seconda del fatto che si voglia provare la convergenza o la divergenza della serie data stessa.
Data una serie, se si trova un'altra serie che maggiora quella data e se si dimostra che la serie maggiorante è convergente, allora si dimostra la convergenza della serie data.
Invece la serie minorante viene, di solito, considerata quando si vuol tentare di dimostrare la divergenza della serie data; infatti, qualora si trovasse una serie minorante (della serie data) sicuramente divergente, si otterrebbe, automaticamente, la divergenza della serie data.
Nell'esempio in questione
$ \sum_{n=1}^infty 1/(n+1) $
si trova una serie minorante data da
$ \sum_{n=1}^infty 1/(2n) $
sicuramente divergente, per cui la serie data risulta essere anch'essa divergente.
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
Il criterio del confronto relativo alle serie si applica cercando una serie maggiorante o minorante rispetto ad una serie data a seconda del fatto che si voglia provare la convergenza o la divergenza della serie data stessa.
Data una serie, se si trova un'altra serie che maggiora quella data e se si dimostra che la serie maggiorante è convergente, allora si dimostra la convergenza della serie data.
Invece la serie minorante viene, di solito, considerata quando si vuol tentare di dimostrare la divergenza della serie data; infatti, qualora si trovasse una serie minorante (della serie data) sicuramente divergente, si otterrebbe, automaticamente, la divergenza della serie data.
Nell'esempio in questione
$ \sum_{n=1}^infty 1/(n+1) $
si trova una serie minorante data da
$ \sum_{n=1}^infty 1/(2n) $
sicuramente divergente, per cui la serie data risulta essere anch'essa divergente.
Spero di essere stato chiaro.
Saluti.
grazie della risposta 
però se un esercizio in generale ci dice di studiare il carattere di una serie, quindi non di verificare se converge o diverge, diventa difficile capire quale confronto effettuare...tranne in cosi semplici come quello da me postato che è abbastanza evidente la serie armonica.
però se un esercizio in generale ci dice di studiare il carattere di una serie, quindi non di verificare se converge o diverge, diventa difficile capire quale confronto effettuare...tranne in cosi semplici come quello da me postato che è abbastanza evidente la serie armonica.
Ciao.
Il criterio del confronto è solo uno dei vari criteri per studiare il carattere di una serie, ma ve ne sono diversi altri, tra i quali quello della radice e del rapporto.
Naturalmente prima di tutto va verificata la condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie; tale condizione prevede che il termine generale della serie stessa tenda a zero.
Saluti.
Il criterio del confronto è solo uno dei vari criteri per studiare il carattere di una serie, ma ve ne sono diversi altri, tra i quali quello della radice e del rapporto.
Naturalmente prima di tutto va verificata la condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie; tale condizione prevede che il termine generale della serie stessa tenda a zero.
Saluti.
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