Serie convergenza puntuale e unfinorme
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(sen x)^n}{n+(ncos x )^2}[/tex]
Da studiare con x [0,2pigreca]
Il procedimento che ho utilizzato è stato ils eguente ho studiato lassoluta convergenza e poi ho maggiorato la serie in questo modo
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(|sen x|)^n}{(ncos x )^2}[/tex]
criterio del rapporto e mi viene convergente per tutte le x escluso π/2 e 3/2 pigreca
Per l'uniforme convetrgenza ho considerato l'intervallo [0,π/2[ e col criterio di cauchy si dimostra che non converge uniformemnte stessa cosa per l'intervallo ]π/2;3/2π[ per l'ultimo intervallo ]3/2π,2π[ dovrei provare a studiare la serie dei massimi?
Da studiare con x [0,2pigreca]
Il procedimento che ho utilizzato è stato ils eguente ho studiato lassoluta convergenza e poi ho maggiorato la serie in questo modo
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(|sen x|)^n}{(ncos x )^2}[/tex]
criterio del rapporto e mi viene convergente per tutte le x escluso π/2 e 3/2 pigreca
Per l'uniforme convetrgenza ho considerato l'intervallo [0,π/2[ e col criterio di cauchy si dimostra che non converge uniformemnte stessa cosa per l'intervallo ]π/2;3/2π[ per l'ultimo intervallo ]3/2π,2π[ dovrei provare a studiare la serie dei massimi?
Risposte
E cosa succede se [tex]$x=\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi }{2}$[/tex]?
Per rendersene conto basta andare a sostituire.
Che la convergenza non sia uniforme in alcun sottointervallo di [tex]$[0,2\pi]$[/tex] avente [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] come estremo non ci piove.
Se [tex]$I\subseteq [0,2\pi]\setminus \{ \tfrac{\pi}{2}\}$[/tex] è un insieme che non ha né [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] né [tex]$\tfrac{3\pi}{2}$[/tex] come punti d'accumulazione e se [tex]$\tfrac{3\pi}{2}\notin I$[/tex], allora la serie converge totalmente (infatti è maggiorata da [tex]\sum |\sin x|^n[/tex] che converge... Tra l'altro questa maggiorazione è più semplice di quella usata da te!).
Per rendersene conto basta andare a sostituire.
Che la convergenza non sia uniforme in alcun sottointervallo di [tex]$[0,2\pi]$[/tex] avente [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] come estremo non ci piove.
Se [tex]$I\subseteq [0,2\pi]\setminus \{ \tfrac{\pi}{2}\}$[/tex] è un insieme che non ha né [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] né [tex]$\tfrac{3\pi}{2}$[/tex] come punti d'accumulazione e se [tex]$\tfrac{3\pi}{2}\notin I$[/tex], allora la serie converge totalmente (infatti è maggiorata da [tex]\sum |\sin x|^n[/tex] che converge... Tra l'altro questa maggiorazione è più semplice di quella usata da te!).
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