Serie. Convergenza.

[Tidus89]

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\n^(2-a)/(arctan(1/n^2)+1/n^(1/2))$

Al variare del paramentro a.


$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(n+n^2+sin(n))/(n^3+n+cos(n))

Chi mi aiuta?

[Tidus89]

Nessuno che sia capace?
Non serve trovare il valore a cui convergono, ma solo verificare che convergano XD

[Lale1]

La seconda puoi confrontarla asintoticamente con 1/n, la serie armonica, che diverge..infatti se fai il rapporto il limite è finito e diverso da zero, quindi entrambe le serie divergono..

[Tidus89]

Ma se faccio così mi viene al numeratore:

$sin(n)/n^3$

Come si calcola il suo valore all'infinito? Cioè, io so che è 0, ma non so perché

[sylowww]

Osserva che $-1/n^3
Per la prima puoi osservare che il termine generale è asintotico $1/n^(a-5/2)$ quindi la serie converge se e solo se $a-5/2>1$, cioè per $a >7/2$.

[Lazar1]

Il limite lo dimostri col teorema dei carabinieri in quanto
$-1/n^3<(sen(n))/n^3<1/n^3$ ed è schiacciato da due successioni che tendono a zero

[Tidus89]

Il risultato della prima però dovrebbe essere

$a=7/2$

Ce l'ha dato il prof.

[gugo82]

"Tidus89":$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\n^(2-a)/(arctan(1/n^2)+1/n^(1/2))$
[...]
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(n+n^2+sin(n))/(n^3+n+cos(n))

Non per essere pignoli, ma che ci azzecca "$f(x)=$"???


Per quanto riguarda la prima serie nota che, essendo $00$), risulta $arctan (1/n^2)+1/n^(1/2)>1/n^(1/2)$, da cui trai:

$n^(2-a)/(arctan(1/n^2)+1/(n^(1/2)))
e $\sum n^(2-a)/(arctan(1/n^2)+1/n^(1/2))<\sum n^(5/2-a)$. Detto ciò, ti conviene tenere presente che la serie armonica generalizzata $\sum n^p$ converge per $p<-1$ ed applicare il teorema del confronto...

[Lale1]

Il limite lo puoi determinare, oltre che col teorema dei carabinieri, anche pensando a come si comportano all'infinito numeratore e denominatore..Il seno è una funzione che oscilla infinitamente tra -1 e 1, mentre x^3 per x che tende a +infinito va a +infinito, e anche con una certa rapidità.. Quindi tra i due quello "più forte", cioè quello "che conta" è proprio x^3..ecco perché il limite fa zero..

[Tidus89]

Grazie mille a tutti. Chiarissimi ^____^