Serie convergenti (serie armonica?!?)
Salve a tutti...
Ho dei dubbi su una serie
$\sum_{n=0}^\infty e^(-sqrt(n))$
Ecco come l'ho risolta...
Noto che $e^(-1)<1$, dunque si ha che questa è una serie armonica generalizzata del tipo
$\sum_{n=0}^\infty a^(n)$ con $a<1$, dunque converge...
Il problema è che al posto di $n$ c'è la radice di $n$ ma non credo sia un problema perchè quando n tende all'infinito lo fà anche la sua radice...
Credete sia giusto o sbagliato?
Ho dei dubbi su una serie
$\sum_{n=0}^\infty e^(-sqrt(n))$
Ecco come l'ho risolta...
Noto che $e^(-1)<1$, dunque si ha che questa è una serie armonica generalizzata del tipo
$\sum_{n=0}^\infty a^(n)$ con $a<1$, dunque converge...
Il problema è che al posto di $n$ c'è la radice di $n$ ma non credo sia un problema perchè quando n tende all'infinito lo fà anche la sua radice...
Credete sia giusto o sbagliato?
Risposte
"angus89":
Salve a tutti...
Ho dei dubbi su una serie
$\sum_{n=0}^\infty e^(-sqrt(n))$
Ecco come l'ho risolta...
Noto che $e^(-1)<1$, dunque si ha che questa è una serie armonica generalizzata del tipo
$\sum_{n=0}^\infty a^(n)$ con $a<1$, dunque converge...
Il problema è che al posto di $n$ c'è la radice di $n$ ma non credo sia un problema perchè quando n tende all'infinito lo fà anche la sua radice...
Credete sia giusto o sbagliato?
Il risultato e' giusto ma l'argomentazione e' errata.
Sembra tu stia dicendo che $\sum e^{-a_n}$ converge ogni volta che $a_n\to \infty$ e questo e' falso (prendi $a_n=\ln(n)$).
Pero' nel caso in esame puoi vedere facilmente che $e^{-\sqrt{n}}$ va a zero piu' rapidamente di $\frac{1}{n^2}$
(dato che $\lim_{n\to\infty}n^2e^{-\sqrt{n}}=\lim_{xto\infty}x^4e^{-x}=0$ )
da cui ricavi la convergenza.
p.s. perche' hai messo "serie armonica" nel titolo" ??
"ViciousGoblinEnters":
Pero' nel caso in esame puoi vedere facilmente che $e^{-\sqrt{n}}$ va a zero piu' rapidamente di $\frac{1}{n^2}$
a me non sembra poi così evidente...anzi abbozzando un grafico verrebbe
(il colore verde è quello di $1/(n^2)$n mentre il blu è il grafico di $e^(- \sqrt(n))$
ora nn saprei...magari hai ragione te...
comunque sn consapevole di aver sparato un sacco di cavolate...erano le 2 di notte...[/img]
Per la teoria degli infiniti $e^-sqrt(n)$ tende a zero prima di $n^-2$.
Riesco a scrivere questa disuguaglianza:
$1/e^sqrt(n)<1/n^2$
La serie armonica generalizzata , con $alpha > 1$ converge , se converge una serie più grande figuriamoci una più piccola, per confronto abbiamo verificato che la serie di partenza converge.Spero di non aver sbagliato
Riesco a scrivere questa disuguaglianza:
$1/e^sqrt(n)<1/n^2$
La serie armonica generalizzata , con $alpha > 1$ converge , se converge una serie più grande figuriamoci una più piccola, per confronto abbiamo verificato che la serie di partenza converge.Spero di non aver sbagliato
"angus89":
a me non sembra poi così evidente...
Osserva che puoi scrivere $1/n^2 = e^{-2 ln n}$, in questo modo dovrebbe essere abbastanza chiaro.
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