Serie convergenti o meno
Mi aiutate a capire come dimostrare che la serie
$ sum((-1)^(n+1)1/10^(1/n)) e sum((n+1)/(2n+1))$ convergono o divergono
$ sum((-1)^(n+1)1/10^(1/n)) e sum((n+1)/(2n+1))$ convergono o divergono
Risposte
comincia dalla pirma : come procederesti in prima battuta?
sinceramente non ne ho idea pensavo di usare il criterio di liebnitz ma non si applica perchè
$1/10^(1/n)$ non decresce per $n->oo $ e non tende a zero
$1/10^(1/n)$ non decresce per $n->oo $ e non tende a zero
giusta osservazione! quindi il termine generale di quella serie a cosa tende??
Tu mi stai dicendo che siccome questa condizione non si realizza allora diverge?
il criterio necessario di convergenza ti dice che il termine generale deve essere infinitesimo se vuoi nella convergenza; se il termine generale non è infinitesimo non puoi sperare di avere convergenza. 
Io ho provato anche con il criterio del rapporto o quello della radice ennesima Ma non ho ottenuto nulla di utile
ripeto più esplicitamente: se il termine generale non tende a zero, cioè non è infinitesimo, la serie non può convergere.
infatti la soluzione diverge quindi posso definire il carattere solo grazie a quel criterio
si, la serie non converge perchè non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza.
ora venendo all'altra serie io ho provato ad applicare il confronto asintotico solo che devo aver sbagliato qualcosa che quando provo subito dopo sulla nuova serie che ho il teorema del rapporto il limite mi viene 1 senza pero significare nulla tu come lo risolveresti
ma allora abbiamo discusso per nulla!! anche quel termine generale non tende a zero ....
asp come fai a dirlo perche non usi sempre liebnitz
la seconda seire nn è a segni alterni che centra Leibniz??
tu dici che diverge ma come fai a dirlo hai visto qualcosa che non so?
Mi spiego:
la condizione solo necessaria di convergenza per le serie dice:
Condizione necessaria affinchè la serie $ \sum a_n$ converga è che$\lim_{n\to+\infty}a_n=0.$
Il significato basilare di questo teorema è che se il termine generale della serie non è infinitesimo allora sicuramente la serie non converge, mentre se risulta infinitesimo la serie può convergere o non convergere; a titolo d'esempio, consideriamo la tua seconda serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{n+1}{2n+1};
\end{align*}
é facile verificare che
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}\ne0;
\end{align*}
allora non essendo infinitesimo il termine generale la serie non può convergere. I "problemi" li hai quando il termine generale della serie è infinitesimo, nel senso che tale risultato non è sufficiente per conludere circa la convergenza della serie. Ad esempio, consideriamo la serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{1}{n};
\end{align*}
anche qui è facile verificare che
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}=0.
\end{align*}
In tal caso però, non possiamo concludere che, essendo infinitesimo il termine generale, allora la serie converge. In questo caso siamo solo nelle condizioni di dire che la serie potrebbe convergere, ma che ci servono altri strumenti o risultati, per poter cercare la convergenza, possibilità che è garantita dal fatto che il termine generale è infinitesimo.
Ecco dunque la necessità di introdurre criteri di convergenza genearali, capaci di indicare quando una serie risulti convergente. Bada bene, che i criteri di convergenza e divergenza (criterio della radice, del rapporto, ect..), esprimono condizioni sufficienti e non necessarie per la convergenza e la divergenza.
la condizione solo necessaria di convergenza per le serie dice:
Condizione necessaria affinchè la serie $ \sum a_n$ converga è che$\lim_{n\to+\infty}a_n=0.$
Il significato basilare di questo teorema è che se il termine generale della serie non è infinitesimo allora sicuramente la serie non converge, mentre se risulta infinitesimo la serie può convergere o non convergere; a titolo d'esempio, consideriamo la tua seconda serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{n+1}{2n+1};
\end{align*}
é facile verificare che
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}\ne0;
\end{align*}
allora non essendo infinitesimo il termine generale la serie non può convergere. I "problemi" li hai quando il termine generale della serie è infinitesimo, nel senso che tale risultato non è sufficiente per conludere circa la convergenza della serie. Ad esempio, consideriamo la serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{1}{n};
\end{align*}
anche qui è facile verificare che
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}=0.
\end{align*}
In tal caso però, non possiamo concludere che, essendo infinitesimo il termine generale, allora la serie converge. In questo caso siamo solo nelle condizioni di dire che la serie potrebbe convergere, ma che ci servono altri strumenti o risultati, per poter cercare la convergenza, possibilità che è garantita dal fatto che il termine generale è infinitesimo.
Ecco dunque la necessità di introdurre criteri di convergenza genearali, capaci di indicare quando una serie risulti convergente. Bada bene, che i criteri di convergenza e divergenza (criterio della radice, del rapporto, ect..), esprimono condizioni sufficienti e non necessarie per la convergenza e la divergenza.
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