Serie convergenti?
Ciao ragazzi chi è così gentile che mi spiega come calcolare la convergenza o meno di queste serie?Grazie mille!
$\sum_{n=1}^infty (1/sqrt n)*arcsin(1/sqrt n)$
$\sum_{n=1}^infty [arcsin(n/(n+1))-arcsin((n+1)/(n+2))]$
$\sum_{n=1}^infty (n^2*5^n)/((n+1)!)$
$\sum_{n=1}^infty (1/sqrt n)*arcsin(1/sqrt n)$
$\sum_{n=1}^infty [arcsin(n/(n+1))-arcsin((n+1)/(n+2))]$
$\sum_{n=1}^infty (n^2*5^n)/((n+1)!)$
Risposte
Ciao nerone80,
In realtà le serie che hai proposto non sono tutte convergenti, in particolare:
1) la prima è divergente, perché \(\arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}}) \sim \frac{1}{\sqrt{n}}\) per $n \to infty$, per cui complessivamente la serie ha il comportamento della serie armonica, notoriamente divergente.
2) si tratta di una serie telescopica, dato che il suo termine generale $a_n = b_n - b_{n + 1}$, ove $b_n := arcsin(frac{n}{n + 1})$. Quindi non soltanto è convergente, ma se ne riesce a calcolare abbastanza agevolmente la somma, dato che la somma parziale $s_n = b_1 - b_{n + 1} = arcsin(frac{1}{2}) - arcsin(frac{n + 1}{n + 2}) = frac{\pi}{6} - arcsin(frac{n + 1}{n + 2})$ e dunque $S = \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} [frac{\pi}{6} - arcsin(frac{n + 1}{n + 2})] = frac{\pi}{6} - frac{\pi}{2} = - frac{\pi}{3}$.
3) Col criterio del rapporto si vede abbastanza facilmente che la serie converge.
In realtà le serie che hai proposto non sono tutte convergenti, in particolare:
1) la prima è divergente, perché \(\arcsin(\frac{1}{\sqrt{n}}) \sim \frac{1}{\sqrt{n}}\) per $n \to infty$, per cui complessivamente la serie ha il comportamento della serie armonica, notoriamente divergente.
2) si tratta di una serie telescopica, dato che il suo termine generale $a_n = b_n - b_{n + 1}$, ove $b_n := arcsin(frac{n}{n + 1})$. Quindi non soltanto è convergente, ma se ne riesce a calcolare abbastanza agevolmente la somma, dato che la somma parziale $s_n = b_1 - b_{n + 1} = arcsin(frac{1}{2}) - arcsin(frac{n + 1}{n + 2}) = frac{\pi}{6} - arcsin(frac{n + 1}{n + 2})$ e dunque $S = \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} [frac{\pi}{6} - arcsin(frac{n + 1}{n + 2})] = frac{\pi}{6} - frac{\pi}{2} = - frac{\pi}{3}$.
3) Col criterio del rapporto si vede abbastanza facilmente che la serie converge.
Ciao nerone80,
Integro la mia stessa risposta confermandoti che l'ultima serie che hai proposto è convergente e si trova:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^n}{(n+1)!} = frac{1}{5}(21e^5 - 1)$
Determinare tale risultato è un po' meno semplice di quanto visto per la seconda serie che hai proposto, ma si può fare... Infatti si ha:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^n}{(n+1)!} = frac{1}{5}\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^{n + 1}}{(n+1)!}$
L'ultima serie scritta è del tipo $\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!}$ che è una serie di potenze e pertanto sono applicabili i teoremi validi per le serie di potenze, in particolare:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!} = \sum_{n=1}^infty frac{n^2}{n!}\int_0^x t^n dt = \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!}\int_0^x t^n dt = \int_0^x \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!} t^n dt = $
$=\int_0^x t \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!} t^{n - 1} dt$
Posto $p := n - 1 \implies n = p + 1 $, per $n = 1 \implies p = 0$, per cui si ha:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!} = \int_0^x t \sum_{p=0}^infty frac{(p + 1)}{p!} t^{p} dt = \int_0^x t [\sum_{p=0}^infty frac{p}{p!} t^{p} + \sum_{p=0}^infty frac{t^{p}}{p!}]dt =$
$= \int_0^x t [\sum_{p=1}^infty frac{t^{p}}{(p - 1)!} + e^t]dt = \int_0^x t [t \sum_{p=1}^infty frac{t^{p - 1}}{(p - 1)!} + e^t]dt = \int_0^x t[te^t + e^t]dt = $
$=\int_0^x (t^2e^t + te^t)dt = e^x (x^2 - x + 1) - 1$
Nel caso particolare $x = 5$ si trova il risultato desiderato.
Integro la mia stessa risposta confermandoti che l'ultima serie che hai proposto è convergente e si trova:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^n}{(n+1)!} = frac{1}{5}(21e^5 - 1)$
Determinare tale risultato è un po' meno semplice di quanto visto per la seconda serie che hai proposto, ma si può fare... Infatti si ha:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^n}{(n+1)!} = frac{1}{5}\sum_{n=1}^infty frac{n^2 5^{n + 1}}{(n+1)!}$
L'ultima serie scritta è del tipo $\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!}$ che è una serie di potenze e pertanto sono applicabili i teoremi validi per le serie di potenze, in particolare:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!} = \sum_{n=1}^infty frac{n^2}{n!}\int_0^x t^n dt = \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!}\int_0^x t^n dt = \int_0^x \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!} t^n dt = $
$=\int_0^x t \sum_{n=1}^infty frac{n}{(n - 1)!} t^{n - 1} dt$
Posto $p := n - 1 \implies n = p + 1 $, per $n = 1 \implies p = 0$, per cui si ha:
$\sum_{n=1}^infty frac{n^2 x^{n + 1}}{(n+1)!} = \int_0^x t \sum_{p=0}^infty frac{(p + 1)}{p!} t^{p} dt = \int_0^x t [\sum_{p=0}^infty frac{p}{p!} t^{p} + \sum_{p=0}^infty frac{t^{p}}{p!}]dt =$
$= \int_0^x t [\sum_{p=1}^infty frac{t^{p}}{(p - 1)!} + e^t]dt = \int_0^x t [t \sum_{p=1}^infty frac{t^{p - 1}}{(p - 1)!} + e^t]dt = \int_0^x t[te^t + e^t]dt = $
$=\int_0^x (t^2e^t + te^t)dt = e^x (x^2 - x + 1) - 1$
Nel caso particolare $x = 5$ si trova il risultato desiderato.
Grazie mille!Gentilissimi come sempre!
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