Serie convergenti
L'esercizio mi chiede di trovare per quali valori di $x\in RR$ le seguenti due serie sono convergenti:
$sum_(n=1)^(infty)|x|^(n^2+1)$ e $sum_(n=1)^(infty)n^(3x+1)tg^2(1/n)$
Scartate le soluzioni palesemente errate mi rimangono queste due risposte:
$]-1,0[$ e $]-1,-2/3[$
Per quanto riguarda la prima delle due serie ho pensato di confrontarla asintoticamente con la serie geometrica, pertanto risulta convergente $<=> |x|<1$ mentre per quanto riguarda la seconda serie volevo scrivere $sum_(n=1)^(infty)n^(3x+1)$ come $sum_(n=1)^(infty)1/n^(-3x-1)$ quindi confrontarlo asintoticamente con la serie armonica generalizzata e arrivando alla conclusione che converge per $-3x-1>1 => x>-2/3$. Ciò detto io avrei messo la risposta che prevede l'intervallo $]-1,-2/3[$. Ma la risposta corretta è l'altra.. Qualcuno saprebbe darmi una mano??
Grazie a tutti!
$sum_(n=1)^(infty)|x|^(n^2+1)$ e $sum_(n=1)^(infty)n^(3x+1)tg^2(1/n)$
Scartate le soluzioni palesemente errate mi rimangono queste due risposte:
$]-1,0[$ e $]-1,-2/3[$
Per quanto riguarda la prima delle due serie ho pensato di confrontarla asintoticamente con la serie geometrica, pertanto risulta convergente $<=> |x|<1$ mentre per quanto riguarda la seconda serie volevo scrivere $sum_(n=1)^(infty)n^(3x+1)$ come $sum_(n=1)^(infty)1/n^(-3x-1)$ quindi confrontarlo asintoticamente con la serie armonica generalizzata e arrivando alla conclusione che converge per $-3x-1>1 => x>-2/3$. Ciò detto io avrei messo la risposta che prevede l'intervallo $]-1,-2/3[$. Ma la risposta corretta è l'altra.. Qualcuno saprebbe darmi una mano??
Grazie a tutti!
Risposte
Per il primo direi che va bene, quella è proprio una geometrica quindi ok. Per la seconda ti sei dimenticato (o clandestinamente sbarazzato 
) della tangente, che asintoticamente va come il suo argomento, quindi hai un termine $1/n^2$ in più di cui tenere conto
) della tangente, che asintoticamente va come il suo argomento, quindi hai un termine $1/n^2$ in più di cui tenere conto
Diciamo clandestinamente sbarazzato.. perchè non essendo funzione di $x$ non credevo andasse a interessare gli intervalli entro i quali prendere la x.. sbaglio?
l'intervallo in cui prendere la x è dato dall'esponente della n (per il confronto con la serie armonica generalizzata). tale esponente è però dato anche dalla n della tangente per così dire.
"cooper":
l'intervallo in cui prendere la x è dato dall'esponente della n (per il confronto con la serie armonica generalizzata). tale esponente è però dato anche dalla n della tangente per così dire.
Non ho capito cosa intendi quanto dici che l'esponente è dato dalla n della tangente
in effetti potrei essermi spiegato male. facciamo che te lo spiego sull'esercizio 
stando al tuo ragionamento
di fatto, per determinare l'insieme di convergenza di x, hai valutato l'esponente di n, ovvero $ -3x-1 $, ponendolo maggiore di 1 per il confronto con la serie armonica generalizzata.
però anche la tangente contribuisce a quell'esponente, infatti, seguendo quanto detto da IlPolloDiGoedel, abbiamo: $ n^(3x+1)*1/n^2=n^(3x-1) $ e qui procedi come prima
stando al tuo ragionamento
"Caronte":
per quanto riguarda la seconda serie volevo scrivere $ sum_(n=1)^(infty)n^(3x+1) $ come $ sum_(n=1)^(infty)1/n^(-3x-1) $ quindi confrontarlo asintoticamente con la serie armonica generalizzata e arrivando alla conclusione che converge per $ -3x-1>1 => x>-2/3 $.
di fatto, per determinare l'insieme di convergenza di x, hai valutato l'esponente di n, ovvero $ -3x-1 $, ponendolo maggiore di 1 per il confronto con la serie armonica generalizzata.
però anche la tangente contribuisce a quell'esponente, infatti, seguendo quanto detto da IlPolloDiGoedel, abbiamo: $ n^(3x+1)*1/n^2=n^(3x-1) $ e qui procedi come prima
Adesso riesco ad arrivare alla soluzione corretta!!! Vi ringrazio entrambi un sacco!
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