Serie: convergente o divergente???
Ciao a tutti! Vorrei sapere se queste serie sono convergenti o divergenti... Mi potete aiutare?
1) $\sum_{k=1}^\infty\frac{sqrt(k+4^k)}{k^2+e^k}$
2) $\sum_{k=1}^\infty\frac{cos(k)}{sqrt(k^3+1)}$
3) $\sum_{k=1}^\infty\3^k*sen(\frac{1}{k!})$
4) $\sum_{k=1}^\infty\frac{arctang(k)}{k+log(k^2+1)}$
secondo me divergono la prima e la quarta e convergono la seconda e la terza... è giusto?
quando c'è un sen o un cos in una serie che procedimento mi consigliate?
Attendo risposte...
Ringrazio anticipatamente.............
1) $\sum_{k=1}^\infty\frac{sqrt(k+4^k)}{k^2+e^k}$
2) $\sum_{k=1}^\infty\frac{cos(k)}{sqrt(k^3+1)}$
3) $\sum_{k=1}^\infty\3^k*sen(\frac{1}{k!})$
4) $\sum_{k=1}^\infty\frac{arctang(k)}{k+log(k^2+1)}$
secondo me divergono la prima e la quarta e convergono la seconda e la terza... è giusto?
quando c'è un sen o un cos in una serie che procedimento mi consigliate?
Attendo risposte...
Ringrazio anticipatamente.............
Risposte
Beh in generale una serie converge quando il limite delle sue somme parziali è finito.
Il seno e il coseno "oscillano" continuamente tra [-1;1] di conseguenza se consideri come una costante n i valori che seno e coseno possono assumere, nel 2) hai $ n/ (sqrt(K^3+1))$ che quindi converge...
Il seno e il coseno "oscillano" continuamente tra [-1;1] di conseguenza se consideri come una costante n i valori che seno e coseno possono assumere, nel 2) hai $ n/ (sqrt(K^3+1))$ che quindi converge...
ok... grazie... e per le altre serie??
Riguardo alla prima io penso converga, perchè al numeratore, basandoti sulla gerarchia di quelli che tondono ad infinito più velocemente, avresti $ sqrt(4^k)$ mentre al denominatore $ e^k$ che tende a infinito più velocemente del numeratore..
La 2) e la 3) le abbiamo risolte perchè contengono seno e coseno..
La 4) è interessante... ragionando in termini di infinito, cosa accade all'arcotangente? Esiste un angolo per cui tende a infinito? .... Se esiste al numeratore hai un valore numerico, mentre al denominatore k che tende a infinito....
La 2) e la 3) le abbiamo risolte perchè contengono seno e coseno..
La 4) è interessante... ragionando in termini di infinito, cosa accade all'arcotangente? Esiste un angolo per cui tende a infinito? .... Se esiste al numeratore hai un valore numerico, mentre al denominatore k che tende a infinito....
Quindi la terza secondo te diverge??
Premetto che quasi tutti gli uguali sono equivalenze asintotiche, nn ho idea di come fare il tilde 
La terza si può fare con il criterio della radice, ricordando che $sin(1/(k!)) = 1/(k!) = e^k/(k^ksqrt(2\pik))$ (la prima è nota e la seconda discende dalla formula di stirling).
Da cui $\sum_{k=1}^{\infty}3^k \cdot sin(1/k!)$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=1}^{\infty}((3e)^k)/(k^ksqrt(2\pik))$.
Applicando ora il criterio della radice, il limite viene 0 quindi la serie dovrebbe convergere...
La terza si può fare con il criterio della radice, ricordando che $sin(1/(k!)) = 1/(k!) = e^k/(k^ksqrt(2\pik))$ (la prima è nota e la seconda discende dalla formula di stirling).
Da cui $\sum_{k=1}^{\infty}3^k \cdot sin(1/k!)$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=1}^{\infty}((3e)^k)/(k^ksqrt(2\pik))$.
Applicando ora il criterio della radice, il limite viene 0 quindi la serie dovrebbe convergere...
La prima converge perchè è asintoticamente equivalente alla serie $sum_{k=1}^{\infty}(2/e)^k$ che converge (serie geometrica).
Per la seconda puoi notare che $sum_{k=1}^{\infty}cosk/sqrt(k^3 +1) < sum_{k=1}^{\infty}1/sqrt(k^3) = sum_{k=1}^{\infty}(1/k)^{3/2}$ che converge (serie armonica generalizzata di ragione > 1) quindi per il criterio del confronto anche la prima converge.
Per la seconda puoi notare che $sum_{k=1}^{\infty}cosk/sqrt(k^3 +1) < sum_{k=1}^{\infty}1/sqrt(k^3) = sum_{k=1}^{\infty}(1/k)^{3/2}$ che converge (serie armonica generalizzata di ragione > 1) quindi per il criterio del confronto anche la prima converge.
Per l'ultimo, se vai a fare $ lim_{k rarr \infty} ((arctgk)/(k + log(k^2 +1)))/(1/k) $, poichè viene finito e diverso da 0, le serie $\sum_{k=1}^{\infty}(arctgk)/(k + log(k^2 +1)$ e $sum_{k=1}^{\infty}1/(k)$ hanno lo stesso carattere, ovvero divergente perchè quest'ultima è la serie armonica.
Un'osservazione su una cosa non del tutto esatta detta sopra
Non è vero che basta controllare il carattere infinitesimo del termine della serie per avere la garanzia di convergenza.
Per esempio $\sum_1^infty 1/k$ non converge, eppure 1/k è infinitesimo per $ k -> infty $.
Quindi, se invece di $1/sqrt(k^3+1)$ avessimo avuto $1/sqrt(k^2+1)$ la serie sarebbe stata divergente.
Non è vero che basta controllare il carattere infinitesimo del termine della serie per avere la garanzia di convergenza.
Per esempio $\sum_1^infty 1/k$ non converge, eppure 1/k è infinitesimo per $ k -> infty $.
Quindi, se invece di $1/sqrt(k^3+1)$ avessimo avuto $1/sqrt(k^2+1)$ la serie sarebbe stata divergente.
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