Serie Convergente Divergente
Ciao, ho da stabilire il carattere di questa serie: $sum sqrt(n)/(1+n^2)$ (non l'ho scritto, ma n va da 1 a inf)
1) Confronto Asintotico:
Ho provato a confrontarla con la seguente serie $sum 1/sqrt(n)$ che diverge
Andando a fare il limite del rapporto tra le due ottengo che questo vale 1, quindi sembrerebbe che la serie di partenza diverga
2) Confronto:
Siccome nel libro mi dice che la serie deve convergere, ho provato con questo altro metodo. Ho confrontato la serie di partenza con questa serie $sum sqrt(n)/n^2$ che e' maggiorante e so che converge.
Quindi la mia serie converge
Come mai ho ottenuto due risultati diversi?
Cosa ho sbagliato nel primo confronto?
E poi, $sum 1/sqrt(n)$ diverge, ma se razionalizzo, trovo che $sum sqrt(n)/n^2$ converge
Perche'?
Grazie
1) Confronto Asintotico:
Ho provato a confrontarla con la seguente serie $sum 1/sqrt(n)$ che diverge
Andando a fare il limite del rapporto tra le due ottengo che questo vale 1, quindi sembrerebbe che la serie di partenza diverga
2) Confronto:
Siccome nel libro mi dice che la serie deve convergere, ho provato con questo altro metodo. Ho confrontato la serie di partenza con questa serie $sum sqrt(n)/n^2$ che e' maggiorante e so che converge.
Quindi la mia serie converge
Come mai ho ottenuto due risultati diversi?
Cosa ho sbagliato nel primo confronto?
E poi, $sum 1/sqrt(n)$ diverge, ma se razionalizzo, trovo che $sum sqrt(n)/n^2$ converge
Perche'?
Grazie
Risposte
Hai fatto lo stesso errore algebrico in entrambi i casi in cui si sono presentati i tuoi dubbi! Vediamo se capisci da solo qual'è!
razionalizzando trovi $sqrt x / x^2$???...
1) Confronto Asintotico
$lim ((sqrt n)/(n^2+1))/(1/sqrt n) = lim (sqrt n) * (sqrt n)/(n^2+1) = lim n^2/(n^2+1) = lim 1/(1+(1/n^2)) = 1$ (il limite e' per $n->+infty$)
Dato che la serie con cui l'ho confrontata: $1/sqrt n$ e' divergente, e il limite e' maggiore di 0, allora e due serie hanno lo stesso comportamento, quindi divergono
2) Confronto
$sum (sqrt n)/(n^2+1) <= sum (sqrt n)/(n^2)$ dato che la serie $sum (sqrt n)/(n^2)$ e' maggiorante, e convergente, visto che $(sqrt n)/(n^2) = 1/(n^(3/2))$ quindi, ricordando la serie armonica generalizzata, so che per a>1 la serie converge.
Quindi la mia serie e' convergente
Ho capito l'errore della razionalizzazione, ma rimane da capire perche' con il confronto asintotico ottengo che la serie diverge.
Grazie
$lim ((sqrt n)/(n^2+1))/(1/sqrt n) = lim (sqrt n) * (sqrt n)/(n^2+1) = lim n^2/(n^2+1) = lim 1/(1+(1/n^2)) = 1$ (il limite e' per $n->+infty$)
Dato che la serie con cui l'ho confrontata: $1/sqrt n$ e' divergente, e il limite e' maggiore di 0, allora e due serie hanno lo stesso comportamento, quindi divergono
2) Confronto
$sum (sqrt n)/(n^2+1) <= sum (sqrt n)/(n^2)$ dato che la serie $sum (sqrt n)/(n^2)$ e' maggiorante, e convergente, visto che $(sqrt n)/(n^2) = 1/(n^(3/2))$ quindi, ricordando la serie armonica generalizzata, so che per a>1 la serie converge.
Quindi la mia serie e' convergente
Ho capito l'errore della razionalizzazione, ma rimane da capire perche' con il confronto asintotico ottengo che la serie diverge.
Grazie
$(sqrt n)(sqrt n) = n^2$??...
Perchè hai fatto lo stesso errore! Non hai letto il mio post? $ sqrt(n)*sqrt(n)=n $ quindi anche dal confronto asintotico ottieni che la serie diverge, perchè $ n/(n^2+1) $ tende a 0!
Chiedo venia ho sbagliato due volte.
Grazie, e scusate ancora se vi ho fatto perdere tempo
Grazie, e scusate ancora se vi ho fatto perdere tempo
figurati! dopotutto stiamo qua per aiutarci a vicenda! 
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