Serie convergente
Salve a tutti!!
Io ho questa serie: $\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n)+2)/(n^2+2)$
E' giusto dire che è convergente perchè facendo $\lim_{n \to \infty} (sqrt(n)+2)/(n^2+2)$ faccio il confronto tra infiniti e al numeratore ho un infinito di grado minore, quindi il limite tende a 0...
oppure devo per forza utilizzare il criterio radice in questo modo???
$\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(sqrt(n)+2)/(n^2+2)=1$
ps: non ho ben capito come fa a essere 1...
Io ho questa serie: $\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n)+2)/(n^2+2)$
E' giusto dire che è convergente perchè facendo $\lim_{n \to \infty} (sqrt(n)+2)/(n^2+2)$ faccio il confronto tra infiniti e al numeratore ho un infinito di grado minore, quindi il limite tende a 0...
oppure devo per forza utilizzare il criterio radice in questo modo???
$\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(sqrt(n)+2)/(n^2+2)=1$
ps: non ho ben capito come fa a essere 1...
Risposte
Secondo me sono sbagliate entrambi le tue considerazioni.
Che sia infinitesimo il termine generale è solo una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della serie.
Qui non serve il criterio da te citato (come lo hai applicato??). Si può constatare che il termine generale è un infinitesimo equivalente ad $1/n^(3/2)$ per $n -> +oo$. Quindi la tua serie converge per confronto con la serie armonica generalizzata.
Che sia infinitesimo il termine generale è solo una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della serie.
Qui non serve il criterio da te citato (come lo hai applicato??). Si può constatare che il termine generale è un infinitesimo equivalente ad $1/n^(3/2)$ per $n -> +oo$. Quindi la tua serie converge per confronto con la serie armonica generalizzata.
mmm... penso di aver capito..
quindi (utilizzando il criterio del confronto) confronti la serie con $sqrt(n)/n^2=1/n^(3/2)$ ed essendo convergente.. di conseguenza converge anche la prima.... giusto??
per quanto riguarda il criterio della radice è un esempio che ho negli appunti fatto dal prof e la mia ipotesi è che operi in questo modo:
$\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2+1)=\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2(1+2/n^2))=\lim_{n \to \infty} (n^(1/2)+2)/(n^(1/2)(1+1/n^2))=1$
potrebbe essere??
quindi (utilizzando il criterio del confronto) confronti la serie con $sqrt(n)/n^2=1/n^(3/2)$ ed essendo convergente.. di conseguenza converge anche la prima.... giusto??
per quanto riguarda il criterio della radice è un esempio che ho negli appunti fatto dal prof e la mia ipotesi è che operi in questo modo:
$\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2+1)=\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2(1+2/n^2))=\lim_{n \to \infty} (n^(1/2)+2)/(n^(1/2)(1+1/n^2))=1$
potrebbe essere??
"sebyspi":
$\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2+1)=\lim_{n \to \infty} n^(3/2)(n^(1/2)+2)/(n^2(1+2/n^2))=\lim_{n \to \infty} (n^(1/2)+2)/(n^(1/2)(1+1/n^2))=1$
potrebbe essere??
Ma no, questo non è il criterio della radice. Calcolando questo limite mostri che $((n^(1/2)+2)/(n^2+1))/(1/n^(3/2)) -> 1$ per $n -> +oo$; cioè dimostri che $1/n^(3/2) sim (n^(1/2)+2)/(n^2+1)$ per $n -> +oo$.
scusami hai ancora ragione XD
comunque intendevo il criterio degli infinitesimi.....
purtroppo a quest'ora sono un pò fuso...
comunque intendevo il criterio degli infinitesimi.....
purtroppo a quest'ora sono un pò fuso...
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