Serie convergente

[jarrod]

Devo dire che questa serie $\sum_{n=1}^oo ((x^2 + 4x)^n)/(n^2 * (x + 10)^n)$ è convergente per quali di queste 4 opzioni?
$x > −5$
$ −5 <= x <= 2$
$x < −10$
$x < −10$ o $−5 <= x <= 2$

Io di solito quando mi sono trovato a che fare con serie in cui dire il parametro per cui sono convergenti andavo per confronto asintotico e poi ricorrevo alla definizione di $\alpha > 1$ e il gioco era fatto. Però si osserva subito che in questo caso che il parametro si trova all'interno delle parantesi, non è mica $n$ il parametro da individuare..
Però oggi è la prima volta che mi capita questo caso... qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi che strada intraprendere?

ps: ho messo le possibili opzioni di risposta corretta per facilitare che mi da una mano e capire meglio quale tipo di parametro bisogna individuare

[Studente Anonimo]

Quando la serie è a termini non negativi:

$[(x^2+4x)/(x+10) gt= 0]$

si può procedere utilizzando il criterio del rapporto:

$lim_(n->+oo)[a_(n+1)/a_n]=lim_(n->+oo)[(x^2+4x)^(n+1)/((n+1)^2(x + 10)^(n+1))(n^2(x + 10)^n)/(x^2+4x)^n]=(x^2+4x)/(x+10)$

Se rimane una sola opzione, si può concludere senza continuare lo studio. Viceversa, si deve continuare con la convergenza assoluta e/o con il criterio applicabile alle serie a segno alterno.

[jarrod]

"anonymous_0b37e9":



$lim_(n->+oo)[(x^2+4x)^(n+1)/((n+1)^2(x + 10)^(n+1))(n^2(x + 10)^n)/(x^2+4x)^n]=(x^2+4x)/(x+10)$

Ho capito che hai utilizzato il criterio del rapporto, ma io quando lo utilizzo ho solo un parametro che è in questo caso la $x$, in questo caso come hai fatto a ricondurti a quest'ultima espressione? Abbiamo sempre due parametri, la $x$ e la $n$
Non mi spiego come ha fatto a diventare $(x^2+4x)/(x+10)$

[Studente Anonimo]

La x è il solo parametro. Non si comprende che cosa c'entri n, dato che è presente in tutte le serie, anche quelle prive di parametro. Ad ogni modo, la risposta corretta è l'ultima.

[jarrod]

okay grazie mille!