Serie convergente

[maschinna]

Devo calcolare la sommatoria convergente:
$ sum_(n =2)(2^(1/(n-1))-2^(1/n)) $
Il risultato del libro è 1, ma a me risulta 2
Ho suddiviso in:
$ sum_(n =2)(2^(1/(n-1))-2^(1/n)) =sum_(n =1)2^(1/(n) )-sum_(n =2)(2^(1/n)) $
$ 2+sum_(n =2)2^(1/(n) )-sum_(n =2)2^(1/n)=2 $
Dove sbaglio?
Grazie

[Black Magic]

Sei sicuro di avere letto bene nel libro?
La serie è uguale a $2$, almeno dalle mie osservazioni, infatti si ha:

$\sum_{n=2}^{+\infty} a_n - b_n$

con $b_n=a_{n+1}$


Quindi avrei:

$\sum_{n=2}^{+\infty} a_n - a_{n+1}$

Da cui si evince che tutti i termini si elidono a vicenda tranne $a_0 = 2$.

Edit

Ho trovato l'errore!
Non si elidono tutti i termini, ma si elidono tutti tranne il primo e l'ultimo!

Dunque, consideriamo la somma n-esima, si ha:

$S_n = a_0-a_1+a_1+a_2+...- a_{n+1} = a_0-a_{n+1}$

$\lim_{n->+\infty} S_n = \lim_{n->+\infty}a_0-a_{n+1}$

Nel nostro caso:

$a_0= 2$

$a_n=2^(1/n)$

Quindi:

$ \lim_{n->+\infty}2-2^(1/n) = 2-1=1 $