Serie converge e derivate nulle?

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Dire se è vero o falso, se vero dimostra, se falso controesempio.
Sia \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione di classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) tale che \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} f\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \) converge. Allora tutte le derivate di \(f \) si annullano in zero.

Secondo me è vero, ma non so bene come dimostrarlo. La mia idea
Se \( f \) è la funzione costante \( f=0 \) è banalmente vero! Supponiamo che \(f \) sia diversa dalla funzione costante 0
Visto che \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} f\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \) converge, allora abbiamo che
\( f\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \) e dunque per continuità di \( f \) abbiamo che \( \lim\limits_{x \to 0} f(x)=f(0)=0\)

Ora, potrei sbagliarmi di grosso, ma io proverei a dimostrare questo:
\( \sum\limits_{n=2}^{\infty} f\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \) converge \( \Rightarrow \) \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} f'\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \) converge, e dunque applicando la stessa idea che a \( f \)
\( f'\begin{pmatrix}
\frac{1}{\ln(n)}
\end{pmatrix} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \) e dunque per continuità di \( f' \) abbiamo che \( \lim\limits_{x \to 0} f'(x)=f'(0)=0\)

Iterando (in quanto \( f' \in \mathcal{C}^{\infty} \) ) abbiamo che tutte le derivate di \(f \) si annullano in zero.
Il problema è che non sono sicuro che sia vera l'implicazione che voglio dimostrare, ne tanto meno saprei come fare!! Avete qualche idea?

[otta96]

Prova con $f(x)={(e^(-2/x),x>0),(0,x<=0):}$.

[otta96]

Scusa lascia stare mi sono accorto di aver letto male il testo, il mio voleva essere un controesempio, ma chiaramente non lo è.
P.S. Forse è meglio se provi per assurdo.

[anto_zoolander]

Scrivo due righe, ma controlla, potrebbero essere deliri notturni.

Supponi che esista almeno un $t in NN$ per cui $f^((t))(0)ne0$ e poni $k=min{ m in NN: f^((m))(0)ne0}$
Poichè $f$ è classe $C^(infty)$ allora avremo che

$f(x)=(f^((k))(0))/(k!)x^k+o(x^k)$ ossia che $(f(x))/((f^((k))(0))/(k!)x^k)=1+(o(x^k))/((f^((k))(0))/(k!)x^k)$

questo in almeno un intorno bucato dell'origine in particolare significa che, indicando con $approx_0$ l'asintoticità in $0$,

$f(x) approx_0 (f^(k)(0))/(k!)x^k:=g(x)$

ossia $f(1/(log(n)))approx_(+infty)(f^((k))(0))/(k!)*1/(log^k(n))$

quindi la serie di termine generale $f(1/(log(n)))$ ha lo stesso carattere dell'altra, che però diverge. Il che viola l'ipotesi che la serie di termine generale $f(1/(log(n)))$ converga.

nota che se $lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x))=l$ e $a_n->x_0$ con $a_n$ distinta da $x_0$ definitivamente, si può applicare il teorema ponte alla funzione $h(x)=(f(x))/(g(x))$ e quindi $lim_(n->+infty)(f(a_n))/(g(a_n))=l$

tra l'altro penso che possa rimanere vero sostituendo a $1/(log(n))$ una qualsiasi successione infinitesima la cui serie associata diverga.

aggiungo

controllando mi sembra che dopo $f(1/(log(n)))approx_(+infty)(f^((k))(0))/(k!)*1/(log^k(n))$ si debba fare qualche considerazione in più, perché per sfruttare l'asintoticità servirebbe il segno costante.

ma di fatto ricordando che se $f/g->1$ allora $|f/g-1|<1$ definitivamente si avrà che $0

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Segnala

[dissonance]

@3m0o: Comunque l'implicazione che hai scritto è falsa in generale. Magari in questo caso è vero, non lo so, ma di sicuro non puoi derivare termine a termine così allegramente, lo devi dimostrare.

[dissonance]

@anto: buona idea

[anto_zoolander]

@peppe: grazie, sarà stato il sonno

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Grazie mille, avrei ancora una domandina se possibile, come mai il carattere della serie di termine generale $ f(1/(log(n))) $ ha lo stesso carattere dell'altra?? È vero sempre che la serie di termine generale \( f(n) \) ha lo stesso carattere della serie a termine il polinomio di Taylor di \( f \) al \( k \) esimo ordine?
Inoltre non capisco, la funzione è approssimata dal suo polinomio di Taylor al \( k \) esimo ordine in un intorno di un punto, in questo caso zero, quindi i primi termini se si trovano fuori dall'intorno, il fatto che sono finiti termini non influenza il comportamento della serie?

[anto_zoolander]

Ciao!

Puoi mostrare che per serie a termini di segno costante, se i termini generici sono asintotici, allora le serie associate hanno lo stesso carattere. Inoltre pur valendo in un intorno di zero, significa che definitivamente tutta la successione ci sta dentro e sai bene che se una serie converge(se definita da un certo punto in poi), allora anche tutta la serie di partenza converge perché alla fine i primi $k$ termini sono alla fine una costante