Serie confunzione goniometrica

[angus89]

ci sono da un paio d'ore...

converge?perchè?

[gygabyte017]

Secondo me diverge...

Perchè $"arctan"(n)<=pi/2 => - "arctan"(n)>=pi/2 => pi/2 - "arctan"(n) >= pi/2 + pi/2 = pi => sum_(n=0)^(oo) pi/2 - "arctan"(n) >= sum_(n=0)^(oo) pi ->+oo$ e quindi $sum_(n=0)^(oo) pi/2 - "arctan"(n) -> +oo$

Però non ne sono sicurissimo...

[dissonance]

"gygabyte017":...
$"arctan"(n)<=pi/2 => - "arctan"(n)>=pi/2 ...

questo non mi convince... come la tangente manda $(-pi/2, pi/2)$ in $RR$, l'arcotangente manda $RR$ in $(-pi/2, pi/2)$.

[gygabyte017]

Hai ragionissima, avrei dovuto scrivere $-"arctan"(n)>= -pi/2$, mi sono distratto... e questo manda all'aria la dimostrazione...

[deserto1]

Io considererei il termine generale della serie, ossia $pi/2-arctan(n)$.
Per $n \to \infty$ si ha $pi/2-arctan(n)\to \0$ ossia $pi/2-arctan(n)\sim tan(pi/2-arctan(n))$; ora $tan(pi/2-arctan(n))=1/(tan(arctan(n)))=1/n$ da cui segue che la serie data diverge.
Può andare bene il mio ragionamento?

[gygabyte017]

Si può fare passando all'integrale, e poi col criterio del confronto asintotico:

la serie converce $<=> int_0^(oo)[pi/2-arctanx]dx<+oo$ Ma $pi/2-arctanx \sim_{+oo} 1/x$: infatti $lim_(x->+oo) (pi/2-arctanx)/(1/x) = 1$. Ma allora $int_0^(oo)1/x->+oo$ quindi la serie diverge. [Ora mi convince di più!]

[angus89]

"deserto":Io considererei il termine generale della serie, ossia $pi/2-arctan(n)$.
Per $n \to \infty$ si ha $pi/2-arctan(n)\to \0$ ossia $pi/2-arctan(n)\sim tan(pi/2-arctan(n))$; ora $tan(pi/2-arctan(n))=1/(tan(arctan(n)))=1/n$ da cui segue che la serie data diverge.
Può andare bene il mio ragionamento?

e l'equivalenza asintotica che hai scritto come la dimostri?

[gygabyte017]

Per il fatto che $lim_{x->0}(tanx)/x=1$ e poichè $pi/2 - arctann ->_{n->+oo} 0$ allora vale l'equivalenza asintotica di deserto