Serie confronti asintotico

[zio_mangrovia]

Dato $alpha>=0$ la serie $\sum_{n=27}^\infty sin(1/(n^(alpha+1)))$
per dimostrare che per $alpha>0$ la serie converge ho ragionato così secondo voi va bene, anche come terminologia?

Ho utilizzato il confronto asintotico con la serie $1/(n^(alpha+1))$ che converge per $alpha>0$, quindi facendone il limite del rapporto ($sin/x$ per $x->\infty$) con la serie data abbiamo $1$, il che dimostra che le due serie si comportano nello stesso modo.
Mi chiedo come giustificare il limite che stavolta si applica ad $x$$inRR$ e non ad $n$ $inNN$, forse perché se il limite vale in $RR$ allora a maggior ragione sarà valido anche per un suo sottoinsieme $NN$ dei Naturali.
Che dite?

[NoSignal]

Esatto, questo perché $\mathbb{N}$ è un sottoinsieme illimitato superiormente di $\mathbb{R}$ e quindi se una funzione ammette limite all'infinito così lo ammette ogni sua restrizione ad un sottoinsieme illimitato superiormente(puoi verificarlo direttamente tramite la definizione di limite).
Questa operazione viene talvolta detta "passare al continuo", ed è molto utile perché ti permette di utilizzare svariati teoremi per il calcolo dei limiti(ad esempio i teoremi di De l'Hopital per funzioni derivabili)

[pilloeffe]

Mah, avrei scritto più semplicemente

$ \sum_{n = 27}^{+\infty} sin(frac{1}{n^{\alpha+1}}) < \sum_{n = 27}^{+\infty} frac{1}{n^{\alpha+1}$

e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata che converge per $\alpha > 0$.