Serie con seno e parametro

[Sylent]

Buonasera ragazzi, volevo solo sapere se il ragionamento seguito per questa serie è esatto o meno

$sum_(n=1)^(+oo) x^n sin ((n)/(n^3+1))$

Mi ricordo di aver letto su questo forum che in una serie se l'argomento del seno va a 0 posso direttamente scrivere la serie in questo modo


$sum_(n=1)^(+oo) x^n ((n)/(n^3+1))$

Mi confermate questa cosa?

Pongo x>0 e provo ad utilizzare il criterio del rapporto, dopo vari calcoli mi spunta che il limite tende ad x, quindi se x>1 allora la serie diverge.

Pongo x<0 e mi scrivo la serie in questo modo

$sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n ((n)/(n^3+1))$

Decido di usare Leibniz e quindi, dopo i calcoli, concludo che la serie converge.

E' esatta?

[Noisemaker]

Anzichè precedere per tentativi, o per sentito dire, ti conviene osservare inizialmente che non si tratta di una serie a termini positivi, non per la presenza del seno, che avendo come argomento una successione limitata $0$ e $1/3,$ assume valori positivi, ma dalla presenza della parametro reale $x;$ considerando allora il valore assoluto del termine generale otteniamo una serie a termini positivi cui possiamo questa volta applicare i criteri noti: si ha
\[ \left|x^n\sin\left(\frac{n}{n^3+1}\right)\right|=|x|^n \sin\left(\frac{n}{n^3+1}\right) \sim|x|^n \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{|x|^n}{n^2}... \]
da cui dovresti concludere.

[Sylent]

"Noisemaker":Anzichè precedere per tentativi, o per sentito dire, ti conviene osservare inizialmente che non si tratta di una serie a termini positivi, non per la presenza del seno, che avendo come argomento una successione limitata $ 0 $ e $ 1/3, $ assume valori positivi, ma dalla presenza della parametro reale $ x; $ considerando allora il valore assoluto del termine generale otteniamo una serie a termini positivi cui possiamo questa volta applicare i criteri noti: si ha
\[ \left|x^n\sin\left(\frac{n}{n^3+1}\right)\right|=|x|^n \sin\left(\frac{n}{n^3+1}\right) \sim|x|^n \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{|x|^n}{n^2}... \]
da cui dovresti concludere.

Considerando questi passaggi poi la vai a confrontare con la serie armonica $1/n^2$ giusto?


Ma i miei passaggi, distinguendo i casi x>0 e x<0 non andavano bene per studiare questa serie?