Serie con parametro x
ciao a tutti...
ho un problema con le serie con il parametro.
non avendole mai fatte non so come affrontarle.
Qualcuno può aiutarmi?
il testo dice:
studiare la convergenza della serie:
$\sum_{n=0}^\infty\(1-(1-1/n)^10)*x^(2n)$ al variare del parametro reale x.
Forse farò una domanda stupidissima, ma visto che il testo mi dice di studiare la convergenza della serie vuol dire che la serie converge di sicuro?
Grazie a tutti.
Ciao.
ho un problema con le serie con il parametro.
non avendole mai fatte non so come affrontarle.
Qualcuno può aiutarmi?
il testo dice:
studiare la convergenza della serie:
$\sum_{n=0}^\infty\(1-(1-1/n)^10)*x^(2n)$ al variare del parametro reale x.
Forse farò una domanda stupidissima, ma visto che il testo mi dice di studiare la convergenza della serie vuol dire che la serie converge di sicuro?
Grazie a tutti.
Ciao.
Risposte
No ovviamente non è detto che converga solo perchè il testo usa quella parola. Sicuramente intende di studiare il "carattere" della serie, cioè come si comporta appunto al variare del parametro.
Non ti darò tutta la soluzione, anche perchè penso non ti serva se vuoi imparare a studiare il carattere di una serie con parametro. Ti do qualche consiglio per iniziare: un buon modo per partire è studiare la condizione necessaria per la convergenza di una serie, dovrai quindi studiare un limite con parametro. Ovviamente a seconda che il parametro assuma determinati valori il limite che studierai sarà nullo oppure no, il che ti può dare un'idea approssimativa di quali possano essere i casi (cioè gli intervalli) per i quali si verifica la convergenza o meno (ricorda che la condizione è necessaria ma non sufficiente).
Successivamente applichi ai diversi casi i criteri che dovresti aver studiato. Ricordati che se i termini della serie non sono positivi puoi ricondurti a tale caso studiando l'assoluta convergenza, oppure utilizzare il criterio di Leibniz, stando attento che una serie può convergere semplicemente ma non assolutamente.
A volte nel caso delle serie con paramentro non basta ragionare per intervalli, può essere interessante studiare un singolo caso, cioè un particolare valore per la x.
Non ti darò tutta la soluzione, anche perchè penso non ti serva se vuoi imparare a studiare il carattere di una serie con parametro. Ti do qualche consiglio per iniziare: un buon modo per partire è studiare la condizione necessaria per la convergenza di una serie, dovrai quindi studiare un limite con parametro. Ovviamente a seconda che il parametro assuma determinati valori il limite che studierai sarà nullo oppure no, il che ti può dare un'idea approssimativa di quali possano essere i casi (cioè gli intervalli) per i quali si verifica la convergenza o meno (ricorda che la condizione è necessaria ma non sufficiente).
Successivamente applichi ai diversi casi i criteri che dovresti aver studiato. Ricordati che se i termini della serie non sono positivi puoi ricondurti a tale caso studiando l'assoluta convergenza, oppure utilizzare il criterio di Leibniz, stando attento che una serie può convergere semplicemente ma non assolutamente.
A volte nel caso delle serie con paramentro non basta ragionare per intervalli, può essere interessante studiare un singolo caso, cioè un particolare valore per la x.
Provo a fare qualche ragionamento, sperando di non dire stupidaggini 
Visto che c'è x^2n suppongo che per qualsiasi x appartenete a R pttengo un numero positivo visto che 2n dà sempre un numero pari. Tranne per x=0, in quel caso ottengo sempre 0.
la condizione necessaria affinchè una serie risultilti convergente è che an tende a 0.
In questo caso il termine tra parentesi tende a zero.
Penso chee ora devo analizzare i vari casi relativi alla x.
spero di non sbagliarmi ma dovrebbe convergere per qualsiasi x visto ke se il termine tra parentesi tende a 0 qualsiasi valore di x non influisce.
Non sono sicuro che tutti i ragionamenti siano giusti perchè ancora sono all'inizi con questo tipo di eserecizi.
Visto che c'è x^2n suppongo che per qualsiasi x appartenete a R pttengo un numero positivo visto che 2n dà sempre un numero pari. Tranne per x=0, in quel caso ottengo sempre 0.
la condizione necessaria affinchè una serie risultilti convergente è che an tende a 0.
In questo caso il termine tra parentesi tende a zero.
Penso chee ora devo analizzare i vari casi relativi alla x.
spero di non sbagliarmi ma dovrebbe convergere per qualsiasi x visto ke se il termine tra parentesi tende a 0 qualsiasi valore di x non influisce.
Non sono sicuro che tutti i ragionamenti siano giusti perchè ancora sono all'inizi con questo tipo di eserecizi.
Visto che c'è x^2n suppongo che per qualsiasi x appartenete a R pttengo un numero positivo visto che 2n dà sempre un numero pari. Tranne per x=0, in quel caso ottengo sempre 0.
Questo è giusto: per la presensa dell'esponente sempre pari non ci sono oscillazioni del segno. I termini sono quindi, al variare di n, sempre positivi.
dovrebbe convergere per qualsiasi x visto ke se il termine tra parentesi tende a 0 qualsiasi valore di x non influisce.
Questo invece non è corretto, non stiamo ancora parlando di convergenza (della serie) ma di condizione necessaria (cioè convergenza del termine generale a 0, intendevi questo?). Se infatti risulta [tex]x > 1[/tex] o [tex]x < -1[/tex] il termine esponenziale risulta crescente e tendente a [tex]+\infty[/tex], procurandoti una forma indeterminata che non ti fa concludere nulla (il nodo si può sciogliere facendo un confronto e concludendo che il limite non è nullo, quindi la serie non converge, si può concludere che diverge perchè a termini positivi).
Se risulta invece [tex]|x| \leqslant 1[/tex] la condizione necessaria è soddisfatta visto che sia il primo fattore che il termine esponenziale tendono entrambi a zero. Questo permette di continuare lo studio di questo caso applicando i diversi criteri per le serie a termini positivi.
"David.phisics":Se infatti risulta [tex]x > 1[/tex] o [tex]x < -1[/tex] il termine esponenziale risulta crescente e tendente a [tex]+\infty[/tex], procurandoti una forma indeterminata che non ti fa concludere nulla (il nodo si può sciogliere facendo un confronto e concludendo che il limite non è nullo, quindi la serie non converge, si può concludere che diverge perchè a termini positivi).
Se risulta invece [tex]|x| \leqslant 1[/tex] la condizione necessaria è soddisfatta visto che sia il primo fattore che il termine esponenziale tendono entrambi a zero. Questo permette di continuare lo studio di questo caso applicando i diversi criteri per le serie a termini positivi.
Questa parte non mi è chiara
Potresti aiutarmi magari con qualche esempio cosi capisco meglio?
stai studiando
[tex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)x^{2n}[/tex]
Osservi che
[tex]\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)\rightarrow0[/tex]
mentre
[tex]x^{2n}\rightarrow+\infty[/tex] se [tex]|x|>1[/tex]
[tex]x^{2n}\rightarrow0[/tex] se [tex]|x|<1[/tex] ed [tex]x^{2n}=0[/tex] se [tex]x=0[/tex]
[tex]x^{2n}=1[/tex] se [tex]x=\pm1[/tex]
Nel primo caso hai una forma indeterminata, che si può però risolvere con il confronto tra infiniti, ricordando che l'esponenziale tende ad infinito più "velocemente" rispetto ad una potenza (per via algebrica puoi portare il fattore [tex]\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)[/tex] al denominatore, in modo da studiare effettivamente un confronto tra infiniti). Se il limite non è zero, allora la serie non converge. Puoi successivamente affermare che diverge perchè è a termini positivi.
Nel secondo e nel terzo caso tutto fila liscio, perchè il limite che stai studiando è uguale a zero. E puoi quindi continuare lo studio applicando i criteri che conosci, per verificare se effettivamente converge o meno. (ricordando appunto che sei nella condizione [tex]|x|\leq1[/tex]).
Per esercitarti puoi provare con la serie (che risulta lo sviluppo di log(1+x) )
[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}(-1)^{k+1}[/tex]
[tex]\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)x^{2n}[/tex]
Osservi che
[tex]\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)\rightarrow0[/tex]
mentre
[tex]x^{2n}\rightarrow+\infty[/tex] se [tex]|x|>1[/tex]
[tex]x^{2n}\rightarrow0[/tex] se [tex]|x|<1[/tex] ed [tex]x^{2n}=0[/tex] se [tex]x=0[/tex]
[tex]x^{2n}=1[/tex] se [tex]x=\pm1[/tex]
Nel primo caso hai una forma indeterminata, che si può però risolvere con il confronto tra infiniti, ricordando che l'esponenziale tende ad infinito più "velocemente" rispetto ad una potenza (per via algebrica puoi portare il fattore [tex]\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{10}\right)[/tex] al denominatore, in modo da studiare effettivamente un confronto tra infiniti). Se il limite non è zero, allora la serie non converge. Puoi successivamente affermare che diverge perchè è a termini positivi.
Nel secondo e nel terzo caso tutto fila liscio, perchè il limite che stai studiando è uguale a zero. E puoi quindi continuare lo studio applicando i criteri che conosci, per verificare se effettivamente converge o meno. (ricordando appunto che sei nella condizione [tex]|x|\leq1[/tex]).
Per esercitarti puoi provare con la serie (che risulta lo sviluppo di log(1+x) )
[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}(-1)^{k+1}[/tex]
ok grazie...
ora mi è tutto più chiaro
ora mi è tutto più chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo