Serie con parametro x
Ho la seguente serie:
$\sum_{k=1}^oo (|x^2-5| - cos (x/k)) $
la risolverei così:
a) utilizzo il criterio del confronto asintotico;
b) confronterei con la serie $ 1/x^2$;
adesso arriva il dubbio :
Devo fare il $lim_(n -> oo) a/b$ $lim_(n-> oo) ((x^2-5)-cos(x/k))/(x^2) = (x^2-5-1) / (x^2) $
come faccio ora devo porlo <1?
$\sum_{k=1}^oo (|x^2-5| - cos (x/k)) $
la risolverei così:
a) utilizzo il criterio del confronto asintotico;
b) confronterei con la serie $ 1/x^2$;
adesso arriva il dubbio :
Devo fare il $lim_(n -> oo) a/b$ $lim_(n-> oo) ((x^2-5)-cos(x/k))/(x^2) = (x^2-5-1) / (x^2) $
come faccio ora devo porlo <1?
Risposte
Ti segnalo alcuni errori in quanto hai scritto:
Stai sommando su $K$, quindi il confronto deve essere fatto con la serie $1/k^2$ e non $1/x^2$.
Nel limite che hai scritto, compare una $n->+oo$ mentre nell'espressione non compare alcuna $n$
Da quello che hai scritto penso sia un $k->+oo$.
Comunque io comincerei osservando che se $x=0$, la serie diverge. Puoi anche studiare il caso $x=+-sqrt5$ a parte.
Infine resta il caso generale con $x!=+-sqrt5,0$.
Stai sommando su $K$, quindi il confronto deve essere fatto con la serie $1/k^2$ e non $1/x^2$.
Nel limite che hai scritto, compare una $n->+oo$ mentre nell'espressione non compare alcuna $n$
Da quello che hai scritto penso sia un $k->+oo$.
Comunque io comincerei osservando che se $x=0$, la serie diverge. Puoi anche studiare il caso $x=+-sqrt5$ a parte.
Infine resta il caso generale con $x!=+-sqrt5,0$.
si si scusa è che sto studiando da parecchie ore ...
Si intendevo $1/k^2$
Allora ok per $x$ diverso $+-sqrt(5)$ dove si annulla $(x^2-5)$
ma non capisco $x$ diverso da$ 0$ ....
Comunque studio tutti i casi :
Per $ -sqrt(5) < x < sqrt(5) $ con xdiverso da 0 la mia serie risulta convergente:
per $ x > sqrt(5) $ diverge;
per $ x < -sqrt(5) $ converge;
Si intendevo $1/k^2$
Allora ok per $x$ diverso $+-sqrt(5)$ dove si annulla $(x^2-5)$
ma non capisco $x$ diverso da$ 0$ ....
Comunque studio tutti i casi :
Per $ -sqrt(5) < x < sqrt(5) $ con xdiverso da 0 la mia serie risulta convergente:
per $ x > sqrt(5) $ diverge;
per $ x < -sqrt(5) $ converge;
Comunque ho capito che prima di tutto devo vedere per quali valori della x viene soddisfatta la condizione necessaria (ma non suff.) per la convergenza.
1) Se pongo $x=+-sqrt(5)$ il mio limite risulta 0 quindi per ora la convergenza necessaria è rispettata :
$lim k-> oo (- cos(sqrt(5)))/ k = 0$ però confrontandola con $1/k$ diverge essendo una seria armonica con $alpha=1$;
2) $cosx =0$ per $x=pi/2$ e $x=3pi/2 $ quindi devo guardare in questi due punti come si comporta il mio limite giusto?
$lim k-> 00 (pi/2 - 5 ) - 0/k= pi/2 - 5$ quindi non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza e diverge.
Ditemi per favore se sto ragionando nella maniera coretta ...e se per piacere qualcuno può risolvermi questo esercizio in modo tale da capire come si fanno questi tipi di esercizi. Vi ringrazio in anticipo.
1) Se pongo $x=+-sqrt(5)$ il mio limite risulta 0 quindi per ora la convergenza necessaria è rispettata :
$lim k-> oo (- cos(sqrt(5)))/ k = 0$ però confrontandola con $1/k$ diverge essendo una seria armonica con $alpha=1$;
2) $cosx =0$ per $x=pi/2$ e $x=3pi/2 $ quindi devo guardare in questi due punti come si comporta il mio limite giusto?
$lim k-> 00 (pi/2 - 5 ) - 0/k= pi/2 - 5$ quindi non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza e diverge.
Ditemi per favore se sto ragionando nella maniera coretta ...e se per piacere qualcuno può risolvermi questo esercizio in modo tale da capire come si fanno questi tipi di esercizi. Vi ringrazio in anticipo.
Ieri ti ho scritto che si possono studiare a parte i casi $x=0, +-sqrt5$ perchè sono "punti notevoli". Penso di essere stato un pò impreciso:è meglio cominciare lo studio in altra maniera, scusami ! ( Non è sbagliato, ma in questo caso è inutile ))
Comincia con il controllare quando è verificata la condizione necessaria per la convergenza:
i valori di $x $ per i quali ci può essere convergenza sono da ricercarsi all'interno dell'insieme
${x in RR | lim_(k->+oo)(|x^2-5|-cos(x/k))=0}$.
Dopodichè puoi procedere con uno studio asintotico del termine generale della serie.
Comincia con il controllare quando è verificata la condizione necessaria per la convergenza:
i valori di $x $ per i quali ci può essere convergenza sono da ricercarsi all'interno dell'insieme
${x in RR | lim_(k->+oo)(|x^2-5|-cos(x/k))=0}$.
Dopodichè puoi procedere con uno studio asintotico del termine generale della serie.
Mi potresti per piacere mostrare lo svolgimento dell'esercizio? Per l'insieme che hai scritto tu escluderei subuito $x=+- sqrt(5)$ poi non capsico perchè escludi anche $x=0$ aiutami 
Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza, andiamo a studiare cioè $lim_(k->+oo)(|x^2-5|-cos(x/k)).$
Il risultato di tale limite è $|x^2-5|-1$.
Pertanto il termine generale della serie tende a zero quando $k->+oo$ $iff$ $|x^2-5|-1=0$,
le cui soluzioni sono $x=+-sqrt6,+-2$.
Questo vuoldire che $AAx in RR-{+-2,+-sqrt6}$ la serie non converge.
Andiamo a vedere cosa succede nei 4 punti in cui è soddisfatta la condizione necessaria. D'ora in poi con $x$ si indica un valore nell'insieme ${+-sqrt6,+-2$}.
Per $k->+oo$, il termine generale della serie è asintotico a $|x^2-5|-(1-x^2/(2k^2))=[|x^2-5|-1]+x^2/(2k^2)$.
La quantità tra le parentesi quadri è nulla per i quattro punti che stiamo considerando, resta perciò $x^2/(2k^2)$ che è termine generale di una serie convergente.
Dovrebbe svolgersi così, però è un po' che non tratto serie ragion per cui potrei anche aver sbagliato qualcosa (spero di no), quindi se qualcosa non ti convince chiedi che ci si ragiona !
Il risultato di tale limite è $|x^2-5|-1$.
Pertanto il termine generale della serie tende a zero quando $k->+oo$ $iff$ $|x^2-5|-1=0$,
le cui soluzioni sono $x=+-sqrt6,+-2$.
Questo vuoldire che $AAx in RR-{+-2,+-sqrt6}$ la serie non converge.
Andiamo a vedere cosa succede nei 4 punti in cui è soddisfatta la condizione necessaria. D'ora in poi con $x$ si indica un valore nell'insieme ${+-sqrt6,+-2$}.
Per $k->+oo$, il termine generale della serie è asintotico a $|x^2-5|-(1-x^2/(2k^2))=[|x^2-5|-1]+x^2/(2k^2)$.
La quantità tra le parentesi quadri è nulla per i quattro punti che stiamo considerando, resta perciò $x^2/(2k^2)$ che è termine generale di una serie convergente.
Dovrebbe svolgersi così, però è un po' che non tratto serie ragion per cui potrei anche aver sbagliato qualcosa (spero di no
), quindi se qualcosa non ti convince chiedi che ci si ragiona !
Grazie prima di tutto adesso me lo scrivo e ci ragiono.
ok grazie mille mi si sono tolti tantissimi dubbi. Comunque penso sia tutto giusto...Adesso vorrei chiederti un consiglio su questa:
$sum 1/4^k(1-sinx) ^(2k)
1)utilizzo criterio della radice;
2) mi resta $1/4 (1-sinx)^2;
3) per vedere la convergenza pongo $-1 <= 1/4 (1-sinx)^2 <= 1$;
Adesso siccome la trigonometria non è il mio forte non sò come andare avanti ...cioè avrei risolto il quadrato di 1-sinx e poi ho provato a studiare con la formula risolutiva togliendo sen...ma penso sia una grande bippp...
$sum 1/4^k(1-sinx) ^(2k)
1)utilizzo criterio della radice;
2) mi resta $1/4 (1-sinx)^2;
3) per vedere la convergenza pongo $-1 <= 1/4 (1-sinx)^2 <= 1$;
Adesso siccome la trigonometria non è il mio forte non sò come andare avanti ...cioè avrei risolto il quadrato di 1-sinx e poi ho provato a studiare con la formula risolutiva togliendo sen...ma penso sia una grande bippp...
Allora, innanzitutto l'operatore modulo per definizione restituisce una quantità positiva o nulla, per cui la disequazione da risolvere è in realtà $0<=|1/4(1-sinx)^2|<=1$. In questo caso, oltretutto, il modulo non serve proprio perchè la quantità al suo interno è sicuramente non negativa, dunque studiamo $0<=1/4(1-sinx)^2<=1$ A questo punto la si risolve ad occhio, non è necessario fare conti.
Prova infatti a pensare a quali valori può assumere la funzione $sinx$ !
Prova infatti a pensare a quali valori può assumere la funzione $sinx$ !
Non capisco cosa intendi con l'ultima frase? Cioè quali valori assume il seno tra 0 e 1?
Il seno è una funzione con la particolare proprietà di essere a valori nell'intervallo $[-1 ; 1]$. Con questa piccola osservazione puoi risolvere quella disequazione senza dover fare conti.
Quindi per tutti i valori tra -1 e 1 è soddisfatta la convergenza
No !!
Abbiamo detto che $AAx in RR$:
$-1<=-sinx<=1$ $=>$ $0<=1-sinx<=2$ $=>$ $0<=(1-sinx)^2<=4$ $=>$ $0<=1/4(1-sinx)^2<=1$.
Cioè la tua disequazione è soddisfatta $AAx in RR$.
Ti resta ora da terminare discutendo la convergenza secondo il criterio della radice.
Abbiamo detto che $AAx in RR$:
$-1<=-sinx<=1$ $=>$ $0<=1-sinx<=2$ $=>$ $0<=(1-sinx)^2<=4$ $=>$ $0<=1/4(1-sinx)^2<=1$.
Cioè la tua disequazione è soddisfatta $AAx in RR$.
Ti resta ora da terminare discutendo la convergenza secondo il criterio della radice.
Scusami ho capito quello che hai scritto quindi adesso dovrei dire che la serie di partenza converge per qualsiasi $AAx inRR$ e in particolare risulta convergente se il risultato del limite è compreso tra 0 e 1.
No, aspetta, ti stai perdendo !
Siamo partiti da una serie in $k$ a termini non negativi. Si è applicato il criterio della radice, facendo la radice K-esima del termine generale della serie. Sappiamo che se, detto $a_k$ tale termine generale, $lim_(k->+oo)(root(k)(a_k))=L<1$ allora la serie converge. Se $L>1$ la serie diverge e infine non si può dire nulla nel caso in cui sia $L=1$, dico bene ? (Nota che , per permanenza del segno, è $L>=0$).
Nel nostro caso è $0<=L<=1$ e , di più, è $0<=L<1$ $AA x in RR$ al di fuori degli $x$ tali per cui $1/4(sinx+1)^2=1$. Per questi $x$, che sono un'infinità numerabile, il limite viene 1 e quindi nulla possiamo dire ma bisogna studiare separatamente questi casi.
Ti torna quanto ti sto dicendo ? Ti faccio ancora memoria di un mio possibile arrugginimento
Siamo partiti da una serie in $k$ a termini non negativi. Si è applicato il criterio della radice, facendo la radice K-esima del termine generale della serie. Sappiamo che se, detto $a_k$ tale termine generale, $lim_(k->+oo)(root(k)(a_k))=L<1$ allora la serie converge. Se $L>1$ la serie diverge e infine non si può dire nulla nel caso in cui sia $L=1$, dico bene ? (Nota che , per permanenza del segno, è $L>=0$).
Nel nostro caso è $0<=L<=1$ e , di più, è $0<=L<1$ $AA x in RR$ al di fuori degli $x$ tali per cui $1/4(sinx+1)^2=1$. Per questi $x$, che sono un'infinità numerabile, il limite viene 1 e quindi nulla possiamo dire ma bisogna studiare separatamente questi casi.
Ti torna quanto ti sto dicendo ? Ti faccio ancora memoria di un mio possibile arrugginimento
Si si adesso si grazie.
Bene così 
Occhio a non confonderti con le $x$ e le $k$. Le prime, in questo caso, sono dei parametri, le seconde rappresentano la variabile rispetto a cui stai sommando ! Buon proseguimento di studio !
Occhio a non confonderti con le $x$ e le $k$. Le prime, in questo caso, sono dei parametri, le seconde rappresentano la variabile rispetto a cui stai sommando ! Buon proseguimento di studio !
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