Serie con parametro variabile
Ciao a tutti
Mi stavo esercitando sulle serie con parametro quando ho incontrato questo esercizio che non mi viene, e non riesco a capire il motivo.
Testo:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ (n^(np))/((2n-1)!)$
Ho provato a risolverla con il criterio del rapporto:
$((n+1)^((n+1)p))/((2n)!)* (((2n-1)!)/n^(np))$
Ho semplificato il rapporto e moltiplicato il denominatore:
$((n+1)^((n+1)p))/((2n)^((n+1)p))$
Ho riscritto tutto nella forma:
$((n+1)/(2n))^((n+1)p) $ $~$ $1/n^((n+1)p)$
Per confronto con la serie armonica generalizzata:
$(n+1)p >1$, $p>1/(n+1)$ con n che va all'infinito $p>0$
Ma il risultato dovrebbe essere $p<2$
Dove sbaglio ? Va bene il procedimento che ho utilizzato ? Grazie in anticipo
Mi stavo esercitando sulle serie con parametro quando ho incontrato questo esercizio che non mi viene, e non riesco a capire il motivo.
Testo:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ (n^(np))/((2n-1)!)$
Ho provato a risolverla con il criterio del rapporto:
$((n+1)^((n+1)p))/((2n)!)* (((2n-1)!)/n^(np))$
Ho semplificato il rapporto e moltiplicato il denominatore:
$((n+1)^((n+1)p))/((2n)^((n+1)p))$
Ho riscritto tutto nella forma:
$((n+1)/(2n))^((n+1)p) $ $~$ $1/n^((n+1)p)$
Per confronto con la serie armonica generalizzata:
$(n+1)p >1$, $p>1/(n+1)$ con n che va all'infinito $p>0$
Ma il risultato dovrebbe essere $p<2$
Dove sbaglio ? Va bene il procedimento che ho utilizzato ? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao nic11,
Nell'applicazione del criterio del rapporto. Osserverei anche che quella $f(x) $ all'inizio è priva di significato, casomai è una $f(p) $:
$f(p) = sum_{n=1}^\infty\ (n^(np))/((2n-1)!) $
"nic11":
Dove sbaglio ?
Nell'applicazione del criterio del rapporto. Osserverei anche che quella $f(x) $ all'inizio è priva di significato, casomai è una $f(p) $:
$f(p) = sum_{n=1}^\infty\ (n^(np))/((2n-1)!) $
Quindi come devo procedere ? usando la radice n-essima ? Dopo come tolgo il fattoriale ?
Posto $a_n := (n^(np))/((2n-1)!) $ si ha:
$lim_{n \to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +infty} frac{(n + 1)^{(n + 1)p}/((2(n + 1)-1)!)}{(n^(np))/((2n-1)!)} = lim_{n \to +infty} frac{(n + 1)^{np} (n + 1)^p/((2n + 1)!)}{(n^(np))/((2n-1)!)} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(n + 1)^p/((2n + 1)!)}{1/((2n-1)!)} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot (n + 1)^p frac{(2n - 1)!}{(2n+1)!} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot (n + 1)^p frac{(2n - 1)!}{(2n+1)\cdot 2n \cdot (2n - 1)!} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(n + 1)^p}{4n^2 + 2n} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{n^p(1 + 1/n)^p}{4n^2 + 2n} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(1 + 1/n)^p}{4n^{2 - p} + 2n^{1- p}} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{[(1 + 1/n)^n]^{p/n}}{4n^{2 - p} + 2n^{1 - p}} $
Affinché la serie proposta converga, l'ultimo limite scritto deve essere minore di $1$. Si vede subito che se $p = 2 $ il risultato del limite è $e^2/ 4 > 1 $, per cui in tal caso la serie non converge. Se invece $2 - p > 0 \implies p < 2 $ allora il limite tende a $0 $ e ciò assicura la convergenza della serie proposta.
$lim_{n \to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +infty} frac{(n + 1)^{(n + 1)p}/((2(n + 1)-1)!)}{(n^(np))/((2n-1)!)} = lim_{n \to +infty} frac{(n + 1)^{np} (n + 1)^p/((2n + 1)!)}{(n^(np))/((2n-1)!)} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(n + 1)^p/((2n + 1)!)}{1/((2n-1)!)} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot (n + 1)^p frac{(2n - 1)!}{(2n+1)!} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot (n + 1)^p frac{(2n - 1)!}{(2n+1)\cdot 2n \cdot (2n - 1)!} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(n + 1)^p}{4n^2 + 2n} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{n^p(1 + 1/n)^p}{4n^2 + 2n} = $
$ = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{(1 + 1/n)^p}{4n^{2 - p} + 2n^{1- p}} = lim_{n \to +infty} [(1 + 1/n)^n]^p cdot frac{[(1 + 1/n)^n]^{p/n}}{4n^{2 - p} + 2n^{1 - p}} $
Affinché la serie proposta converga, l'ultimo limite scritto deve essere minore di $1$. Si vede subito che se $p = 2 $ il risultato del limite è $e^2/ 4 > 1 $, per cui in tal caso la serie non converge. Se invece $2 - p > 0 \implies p < 2 $ allora il limite tende a $0 $ e ciò assicura la convergenza della serie proposta.
Perfetto grazie mille non ci avevo pensato!
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