Serie con parametro variabile

[nic111]

Ciao a tutti
Mi sto esercitando per il compito di analisi e mi sono imbattuto in un esercizio che non riesco a risolvere
Testo:
$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha *sen^3(1/(sqrt(n^\alpha + 2) )) $
Io ho provato a risolverla usando la stima asintotica del seno riscrivendo cosi la serie:
$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha *(1/(sqrt(n^\alpha + 2) ))^3 $
Ho moltiplicato le due potenze $1/2, 3$ e sono arrivato a questo punto:
$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha /((n^\alpha + 2)*(sqrt(n^\alpha + 2) )) $
ora come proseguo ?
Ho provato a moltiplicare e dividere per $sqrt(n^\alpha - 2)$ ma non mi viene il risultato.

Grazie in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao nic11,

Farei così:

$ sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha} sin^3(1/(sqrt(n^{\alpha} + 2)))$[tex]\sim[/tex] $sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha}(1/(sqrt(n^{\alpha} + 2)))^3 $ [tex]\sim[/tex]$ sum_{n=1}^{+\infty} n^{\alpha}/(n^{\alpha/2})^3 = sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^{frac{3\alpha}{2}-\alpha}) = sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^{\alpha/2} $

e l'ultima serie scritta converge se $ \alpha/2 > 1 \implies \alpha > 2 $

[nic111]

Grazie mille non ci avevo pensato !