Serie con parametro reale
salve a tutti vorrei un aiuto per questa serie,presenta un parametro reale,ho provato a studiarla e vorrei chiarire i miei dubbi e sapere se effettivamente ho creato un filo logico che renda corretti i miei passaggi.
la serie in questione è : $ \sum_{n=1}^\infty x^n/((2sqrtn)+1) $
come prima cosa ho studiato l'assoluta convergenza mettendo il valore assoluto alla x,sono arrivato alla conclusione che la serie converge se $ |x|<1 $ (spero sia corretto) usando il criterio della radice,non ho fatto altro che uscire la x dalla radice e poi svolgere il limite che dovrebbe risultare 1,e considerando la x trovo il risultato scritto in precedenza.Poi (anche seguendo un esercizio svolto dal prof)ho considerato i vari casi,cioè :
-se $ |x|>1 $ la serie diverge;
-se x = 1 trovo $\sum_{n=0}^\infty 1/((2sqrtn)+1)$ da confrontare asintoticamente con $1/(2sqrtn) $;
-se x= -1 trovo una serie a termini con segno alterno(da studiare con Liebnitz);
mentre ii casi che mi ha messo in difficoltà è x<-1 e x>1,non saperi proprio cosa fare.Spero di essere stato chiaro (e chi i passaggi descritti siano corretti) e che qualcuno mi possa dare una mano,grazie anticipatamente.
la serie in questione è : $ \sum_{n=1}^\infty x^n/((2sqrtn)+1) $
come prima cosa ho studiato l'assoluta convergenza mettendo il valore assoluto alla x,sono arrivato alla conclusione che la serie converge se $ |x|<1 $ (spero sia corretto) usando il criterio della radice,non ho fatto altro che uscire la x dalla radice e poi svolgere il limite che dovrebbe risultare 1,e considerando la x trovo il risultato scritto in precedenza.Poi (anche seguendo un esercizio svolto dal prof)ho considerato i vari casi,cioè :
-se $ |x|>1 $ la serie diverge;
-se x = 1 trovo $\sum_{n=0}^\infty 1/((2sqrtn)+1)$ da confrontare asintoticamente con $1/(2sqrtn) $;
-se x= -1 trovo una serie a termini con segno alterno(da studiare con Liebnitz);
mentre ii casi che mi ha messo in difficoltà è x<-1 e x>1,non saperi proprio cosa fare.Spero di essere stato chiaro (e chi i passaggi descritti siano corretti) e che qualcuno mi possa dare una mano,grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao salvolaiacona,
Se $x = 1$ si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((2sqrtn)+1) > \sum_{n=0}^{+\infty} frac{1}{4n}$
per cui la serie è ancora divergente.
Se $x = -1$ si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n/((2sqrtn)+1) $ che è convergente ad un valore negativo (Leibniz o Leibnitz, non Liebnitz...
)
Scusa eh, ma non avevi già stabilito che converge per $|x| < 1$, che significa per $- 1 < x < 1$? Dunque per $x < - 1$ e $x > 1$, cioè per $|x| > 1$, diverge (come d'altronde avevi tu stesso già trovato in precedenza...)
"salvolaiacona":
la serie converge se $|x|<1$
"salvolaiacona":
se $|x|>1$ la serie diverge
Se $x = 1$ si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((2sqrtn)+1) > \sum_{n=0}^{+\infty} frac{1}{4n}$
per cui la serie è ancora divergente.
Se $x = -1$ si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n/((2sqrtn)+1) $ che è convergente ad un valore negativo (Leibniz o Leibnitz, non Liebnitz...
)"salvolaiacona":
mentre ii casi che mi ha messo in difficoltà è $x < -1$ e $x > 1$
Scusa eh, ma non avevi già stabilito che converge per $|x| < 1$, che significa per $- 1 < x < 1$? Dunque per $x < - 1$ e $x > 1$, cioè per $|x| > 1$, diverge (come d'altronde avevi tu stesso già trovato in precedenza...)
"pilloeffe":
Se $x = 1$ si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} 1/((2sqrtn)+1) > \sum_{n=0}^{+\infty} frac{1}{4n}$
per cui la serie è ancora divergente.
per quanto riguarda questo passaggio ho capito il tuo ragionamento,cioè prendere una serie il cui termina generale sia più piccolo di quello della serie da studiare,ma come ho fatto io è sbagliato?Come te trovo che la serie diverga ma uso il confronto asintotico(sempre se l'ho usato nel modo corretto) e non quello "normale",è la stesa cosa?
"salvolaiacona":
ma come ho fatto io è sbagliato
No, è corretto. In questo caso è semplice anche determinare lo sviluppo completo:
$frac{1}{2 sqrt{n} + 1} = frac{1}{2 sqrt{n}(1 + frac{1}{2 sqrt{n}})} = frac{1}{2 sqrt{n}(1 -(- frac{1}{2 sqrt{n}}))} = frac{1}{2 sqrt{n}} \sum_{k=0}^{+\infty} (- frac{1}{2 sqrt{n}})^k$
ed il primo termine dello sviluppo è proprio $frac{1}{2 sqrt{n}$.
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