Serie con parametro reale
Ciao ragazzi, sono alle prese con il determinare il carattere di una serie al variare di un parametro $ alpha >=0 $ .
Ho studiare i vari criteri che mi permettono di determinare il carattere di una serie, e fino ad ora non ho incontrato grossi problemi.
Però, da quando c'è questo parametro $ alpha >=0 $ ho difficoltà ad affrontare l'esercizio perché non so come impostare il mio ragionamento! Vedo in molti esempi che molti di voi sanno già quando porlo = o < 0 > di un determinato numero e distinguere i casi a prescindere dal metodo che poi viene applicato. Vorrei capire se è una questione di "occhio" oppure c'è un ragionamento alla base che mi sfugge.
Esempio:
$ sum_(n = \1)^(oo) ((n^3+3n+alpha)/(n^2+3n+2))^(n^3) $
In che modo posso comportarmi?
Qual è il primo passo da fare?
Mi verrebbe da pensare di provare a trasformare la serie in una geometrica e poi studiarmi i vari valori della ragione...
Però non trovo alcun criterio che fa in modo di ottenere questo...
Qualcuno può farmi capire alla base dell'esercizio che ragionamento di partenza ci sta?
Premetto che sulle serie bene o male non ho grossi problemi, ho studiato i vari criteri ecc.. Ma qui, mi blocco totalmente.
Ho studiare i vari criteri che mi permettono di determinare il carattere di una serie, e fino ad ora non ho incontrato grossi problemi.
Però, da quando c'è questo parametro $ alpha >=0 $ ho difficoltà ad affrontare l'esercizio perché non so come impostare il mio ragionamento! Vedo in molti esempi che molti di voi sanno già quando porlo = o < 0 > di un determinato numero e distinguere i casi a prescindere dal metodo che poi viene applicato. Vorrei capire se è una questione di "occhio" oppure c'è un ragionamento alla base che mi sfugge.
Esempio:
$ sum_(n = \1)^(oo) ((n^3+3n+alpha)/(n^2+3n+2))^(n^3) $
In che modo posso comportarmi?
Qual è il primo passo da fare?
Mi verrebbe da pensare di provare a trasformare la serie in una geometrica e poi studiarmi i vari valori della ragione...
Però non trovo alcun criterio che fa in modo di ottenere questo...
Qualcuno può farmi capire alla base dell'esercizio che ragionamento di partenza ci sta?
Premetto che sulle serie bene o male non ho grossi problemi, ho studiato i vari criteri ecc.. Ma qui, mi blocco totalmente.
Risposte
Bhè... in questo caso la base ${n^3+3n+\alpha}/{n^2+3n+2}$ tende a $+\infty$ qualunque sia $alpha$, e l'esponente $n^3$ pure, quindi il termine generale è $+\infty^{+\infty}=+\infty$ $\Rightarrow$ la serie non converge (condizione necessaria per la convergenza è che il termine generale tenda a zero).
Ciao, in effetti come ti è già stato detto, la condizione necessaria per la convergenza non è rispettata, infatti:
$lim_(n->oo) ((n^3+3n+alpha)/(n^2+3n+2))^(n^3)=+oo$ qualunque sia $alpha$
$lim_(n->oo) ((n^3+3n+alpha)/(n^2+3n+2))^(n^3)=+oo$ qualunque sia $alpha$
"billyballo2123":
Bhè... in questo caso la base ${n^3+3n+\alpha}/{n^2+3n+2}$ tende a $+\infty$ qualunque sia $alpha$
Scusami ho sbagliato a scrivere! la n al dominatore è alla seconda e non alla terza.
${n^2+3n+\alpha}/{n^2+3n+2}$
Anche in questo caso, il termine generale non tende a zero... la base tende a uno e l'esponente a $+\infty $.
"billyballo2123":
Anche in questo caso, il termine generale non tende a zero... la base tende a uno e l'esponente a $+\infty $.
E questa non è una forma indeterminata?
Da quel che so in questo modo non posso dire proprio un bel nulla sulla serie, e quindi devo procedere con uno dei criteri studiati (confronto, radice, rapporto, ecc).
Il problema è che non so come procedere, perché mi sembra che in ogni caso non riscirei ad arrivare ad un risultato che mi permetta di studiare il valore di alfa
"Beerk":
[quote="billyballo2123"]Anche in questo caso, il termine generale non tende a zero... la base tende a uno e l'esponente a $+\infty $.
E questa non è una forma indeterminata?
Da quel che so in questo modo non posso dire proprio un bel nulla sulla serie, e quindi devo procedere con uno dei criteri studiati (confronto, radice, rapporto, ecc).
Il problema è che non so come procedere, perché mi sembra che in ogni caso non riscirei ad arrivare ad un risultato che mi permetta di studiare il valore di alfa[/quote]
La tua serie è
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \left (\frac{n^2 + 3n + \alpha }{n^2 + 3n + 2} \right )^{n^3} \]
giusto?
Verificando la condizione necessaria di convergenza, come hai visto, ci si trova davanti ad una forma indeterminata $1^{\infty}$. Cosa si fa nel caso di una forma del genere dovresti saperlo già dagli esercizi sui limiti; non incolpare i parametri
Notiamo che
\[ \left (\frac{n^2 + 3n + \alpha}{n^2 + 3n + 2} \right )^{n^3} = \left (1 + \left ( - 1 + \frac{n^2 + 3n + \alpha}{n^2 + 3n + 2} \right ) \right )^{n^3} = \left ( 1 + \frac{\alpha - 2}{n^2 + 3n + 2} \right )^{n^3} \]
Ci si accorge subito, in questa forma, che per $\alpha = 2$ la serie è sempre uguale ad $1$. La serie di termine generico $1$ è chiaramente divergente, poichè il termine generico non è infinitesimo. Se $ \alpha \ne 2$, allora possiamo riscrivere il limite così:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\left (\left ( 1 + \frac{\alpha - 2}{n^2 + 3n + 2} \right )^{\frac{n^2 + 3n +2}{\alpha - 2}} \right )^{\frac{n^3 (\alpha - 2)}{n^2 + 3n+2}}} = e^{(\alpha - 2)\infty} = \begin{cases} 0, se \ \alpha - 2 < 0 \\ + \infty, \ se \ \alpha - 2 > 0 \end{cases} \]
Quindi la serie può convergere $\iff \alpha -2 < 0 \implies \alpha < 2 $. Altrimenti, essendo a termini positivi, diverge positivamente. L'esercizio ti richiede di studiarla per $\alpha \geq 0$, quindi devi studiare il caso $ 0 \leq \alpha < 2$.
Per capire cosa succede nel caso $ 0 \leq \alpha <2$, puoi usare un criterio fra quelli che hai citato. Sulla base della scomposizione che abbiamo fatto, soprattutto l'ultima, c'è un criterio in particolare che sarebbe particolarmente comodo in questo caso. Ma queste sono cose che vedrai tu; dopotutto, hai detto che per le serie non hai problemi, quando non hanno parametri. Adesso il parametro lo abbiamo sbrogliato, quindi tocca a te
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