Serie con parametro e criterio del rapporto
Giorno, cercavo di risolvere questa serie:
$ sum_(n = 1)^oo((n+1)^(alpha*n+1))/((2n-1)!) $
sono partito con il criterio del rapporto e ho proceduto nel seguente modo:
$ ((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/((2n+1)!)*((2n-1)!)/((n+1)^(alpha*n+1)) =$
$ =((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/((2n+1)(2n)(2n-1)!)*((2n-1)!)/((n+1)^(alpha*n+1)) =$
$ =((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/(n+1)^(alpha*n+1)*(1)/((2n+1)2n) $
ora da qui sono in difficoltà, un suggerimento su come procedere?
Grazie
$ sum_(n = 1)^oo((n+1)^(alpha*n+1))/((2n-1)!) $
sono partito con il criterio del rapporto e ho proceduto nel seguente modo:
$ ((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/((2n+1)!)*((2n-1)!)/((n+1)^(alpha*n+1)) =$
$ =((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/((2n+1)(2n)(2n-1)!)*((2n-1)!)/((n+1)^(alpha*n+1)) =$
$ =((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/(n+1)^(alpha*n+1)*(1)/((2n+1)2n) $
ora da qui sono in difficoltà, un suggerimento su come procedere?
Grazie
Risposte
Ciao sine nomine,
Proverei a raccogliere $n$ nei due termini con le parentesi tonde della prima frazione...
Proverei a raccogliere $n$ nei due termini con le parentesi tonde della prima frazione...
$ =(n(1+2/n))^(alpha(n+1)+1)/(n(1+1/n))^(alphan+1)*1/((2n+1)2n)= $
$ =(n(1+2/n)^(n/n))^(alpha(n+1)+1)/(n(1+1/n)^(n/n))^(alphan+1)*1/((2n+1)2n)= $
$ =(n*e^2)^((alpha(n+1)+1)/n)/(n*e)^((alphan+1)/n)*1/((2n+1)2n)= $
e qui son bloccato di nuovo...un altro aiutino?
grazie
$ =(n(1+2/n)^(n/n))^(alpha(n+1)+1)/(n(1+1/n)^(n/n))^(alphan+1)*1/((2n+1)2n)= $
$ =(n*e^2)^((alpha(n+1)+1)/n)/(n*e)^((alphan+1)/n)*1/((2n+1)2n)= $
e qui son bloccato di nuovo...un altro aiutino?
grazie
Partiamo da qui:
$lim_{n \to +infty} ((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/(n+1)^(alpha*n+1)*(1)/((2n+1)2n) = lim_{n \to +infty} (n(1+2/n))^(alpha(n+1)+1)/(n(1+1/n))^(alphan+1)*1/((2n+1)2n) = $
$ = lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha}}{2n(2n + 1)} = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha}}{n^2 + n/2} = $
$ = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{1}{4} \cdot frac{lim_{n \to +infty} [(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{lim_{n \to +infty}[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = $
$ = frac{1}{4} \cdot frac{lim_{n \to +infty} [(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{lim_{n \to +infty}[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{1}{4} \cdot frac{e^{2\alpha}}{e^{\alpha}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{e^{\alpha}}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} $
Affinché il risultato di tale limite sia minore di $1$, in modo che la serie converga, deve essere $ \alpha - 2 < 0 \implies \alpha < 2 $
$lim_{n \to +infty} ((n+2)^(alpha*(n+1)+1))/(n+1)^(alpha*n+1)*(1)/((2n+1)2n) = lim_{n \to +infty} (n(1+2/n))^(alpha(n+1)+1)/(n(1+1/n))^(alphan+1)*1/((2n+1)2n) = $
$ = lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha}}{2n(2n + 1)} = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha}}{n^2 + n/2} = $
$ = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{[(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{1}{4} \cdot frac{lim_{n \to +infty} [(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{lim_{n \to +infty}[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = $
$ = frac{1}{4} \cdot frac{lim_{n \to +infty} [(1 + 2/n)^n]^{frac{\alpha(n + 1) + 1}{n}}}{lim_{n \to +infty}[(1 + 1/n)^n]^{frac{\alpha n + 1}{n}}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{1}{4} \cdot frac{e^{2\alpha}}{e^{\alpha}} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} = frac{e^{\alpha}}{4} \cdot lim_{n \to +infty} frac{n^{\alpha - 2}}{1 + 1/{2n}} $
Affinché il risultato di tale limite sia minore di $1$, in modo che la serie converga, deve essere $ \alpha - 2 < 0 \implies \alpha < 2 $
Grazie molte per la risposta completa, ma ci sono ancora cose che non capisco. Per esempio tra il secondo e il terzo passaggio, come si è trasformato l'uno a numeratore della seconda frazione in un $n^alpha$? E a denominatore come mai il $2n(2n+1)$ è diventato un $2n(2n+2)$?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
"sine nomine":
Grazie molte per la risposta completa
Prego.
"sine nomine":
come si è trasformato l'uno a numeratore della seconda frazione in un $n^{\alpha} $?
Per comodità ho portato il risultato del rapporto $n^{\alpha(n + 1) + 1} / n^{\alpha n + 1} = n^{\alpha} $ dalla prima alla seconda frazione.
"sine nomine":
E a denominatore come mai il $2n(2n+1) $ è diventato un $ 2n(2n+2) $?
Errore mio: ho corretto il post, anche se è ininfluente dal punto di vista del risultato finale...
Ok capito tutto, grazie davvero.
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