Serie con parametro $\alpha$ che fare ?
Salve ragazzi ho provato ad utilizzare alcuni ragionamenti per individuare il carattere della seguente serie al variare del parametro $\alpha$
ho provato a ragionare con il criterio del confronto o il criterio della radice e del rapporto ma non riesco a risolvere nulla. Potete consigliarmi come ragionare ?
questo è il termine generale $n^3*[(sin(1/n))^2-sin(1/n^2)]^(\alpha)$
Inoltre volevo chiedere solo un dubbio che ho. La serie di termine generale $(-1)^n*(n/(5n+1))$ Diverge perchè non è possibile applicare il criterio di Leibneiz in quanto il termine $a_n=n/(5n+1)$ non è infinitesimo ?
Grazie in anticipo, scusatemi se ho postato due cose nello stesso post, ma il secondo è solo un mio dubbio.
ho provato a ragionare con il criterio del confronto o il criterio della radice e del rapporto ma non riesco a risolvere nulla. Potete consigliarmi come ragionare ?
questo è il termine generale $n^3*[(sin(1/n))^2-sin(1/n^2)]^(\alpha)$
Inoltre volevo chiedere solo un dubbio che ho. La serie di termine generale $(-1)^n*(n/(5n+1))$ Diverge perchè non è possibile applicare il criterio di Leibneiz in quanto il termine $a_n=n/(5n+1)$ non è infinitesimo ?
Grazie in anticipo, scusatemi se ho postato due cose nello stesso post, ma il secondo è solo un mio dubbio.
Risposte
"frenky46":
Salve ragazzi ho provato ad utilizzare alcuni ragionamenti per individuare il carattere della seguente serie al variare del parametro $\alpha$
ho provato a ragionare con il criterio del confronto o il criterio della radice e del rapporto ma non riesco a risolvere nulla. Potete consigliarmi come ragionare ?
questo è il termine generale $n^3*[(sin(1/n))^2-sin(1/n^2)]^(\alpha)$
Inoltre volevo chiedere solo un dubbio che ho. La serie di termine generale $(-1)^n*(n/(5n+1))$ Diverge perchè non è possibile applicare il criterio di Leibneiz in quanto il termine $a_n=n/(5n+1)$ non è infinitesimo ?
Grazie in anticipo, scusatemi se ho postato due cose nello stesso post, ma il secondo è solo un mio dubbio.
Riguardo il dubbio, la serie non converge perchè non soddisfa la condizione necessaria per la convergenza, appunto il termine generale non è infinitesimo
Ma posso dire che diverge oppure solo che non converge?
"frenky46":
Salve ragazzi ho provato ad utilizzare alcuni ragionamenti per individuare il carattere della seguente serie al variare del parametro $\alpha$
ho provato a ragionare con il criterio del confronto o il criterio della radice e del rapporto ma non riesco a risolvere nulla. Potete consigliarmi come ragionare ?
questo è il termine generale $n^3*[(sin(1/n))^2-sin(1/n^2)]^(\alpha)$
Inoltre volevo chiedere solo un dubbio che ho. La serie di termine generale $(-1)^n*(n/(5n+1))$ Diverge perchè non è possibile applicare il criterio di Leibneiz in quanto il termine $a_n=n/(5n+1)$ non è infinitesimo ?
Grazie in anticipo, scusatemi se ho postato due cose nello stesso post, ma il secondo è solo un mio dubbio.
Per la serie:
$[(sin(1/n))^2-sin(1/n^2)] \sim -1/(3n^4)$
quindi abbiamo:
$-n^3/(3n^(4\alpha)) = -1/(3n^(4\alpha-3))$
quindi la serie (armonica generalizzata) converge per $(4\alpha-3)> 1$
cioè, la serie converge per:
$\alpha>1$
Se non ho fatto errori grossolani, dovrebbe essere corretto
EDIT: ho corretto qualcosa
"frenky46":
Ma posso dire che diverge oppure solo che non converge?
Non ti poni proprio il problema, perchè la serie diverge per forza. Cioè non parte proprio l'esercizio, non invochi Leibniz nè altri. Spesso i professori mettono serie del genere nei compiti proprio per vedere se hanno imparato anche un po' di teoria
"faximusy":
[quote="frenky46"]Ma posso dire che diverge oppure solo che non converge?
Non ti poni proprio il problema, perchè la serie diverge per forza.[/quote]
Alt.
La serie non può convergere, e questo è chiaro (non è verificata la condizione necessaria); tuttavia non si può affermare che la serie diverga.*
Invero la serie [tex]$\sum_n a_n$[/tex] con [tex]$a_n:=(-1)^n\ \frac{n}{5n+1}$[/tex] è oscillante e limitata.
Per vedere ciò, osserviamo che:
[tex]$\frac{n}{5n+1} =\frac{\tfrac{1}{5} \ (5n+1) -\tfrac{1}{5}}{5n+1} = \frac{1}{5} -\frac{1}{5(5n+1)} \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad a_n= (-1)^n\ \frac{n}{5n+1} =\frac{(-1)^n}{5} +\frac{(-1)^{n+1}}{5(5n+1)}$[/tex],
pertanto lo [tex]$n$[/tex]-esimo addendo della serie di partenza si esprime come somma di un termine oscillante, i.e. [tex]$\alpha_n:=\frac{(-1)^n}{5}$[/tex], e di un termine infinitesimo a segni alternati, i.e. [tex]$\beta_n:=\frac{(-1)^{n+1}}{5(5n+1)}$[/tex]; la serie [tex]$\sum_n \beta_n$[/tex] converge (per il criterio di Leibniz), mentre la serie [tex]$\sum_n \alpha_n$[/tex] è indeterminata e limitata (la successione delle somme parziali assume alternatamente i due valori [tex]$\frac{1}{5}$[/tex] e [tex]$0$[/tex]), sicché le successioni delle somme parziali di entrambe [tex]$\sum_n \alpha_n$[/tex] e [tex]$\sum_n \beta_n$[/tex] sono limitate; ne consegue che le somme parziali della serie [tex]$\sum_n a_n$[/tex] sono limitate: infatti avendosi:
[tex]$\forall N\in \mathbb{N} ,\ \sum_{n=0}^N a_n =\sum_{n=0}^N \alpha_n +\sum_{n=0}^N \beta_n$[/tex],
detti [tex]$m,M$[/tex] due numeri tali che [tex]$m\leq \sum_{n=0}^N \beta_n \leq M$[/tex], troviamo:
[tex]$m\leq \sum_{n=0}^N a_n \leq M+\frac{1}{5}$[/tex] (si ricordi che le somme parziali di [tex]$\sum_n \alpha_n$[/tex] sono in [tex]$\{ 0,\frac{1}{5}\}$[/tex]).
Pertanto [tex]$\sum_n a_n$[/tex] è limitata e non convergente, ergo oscillante.
__________
* A meno che non si usi il verbo "divergere" alla maniera anglosassone: infatti nella tradizione anglosassone, una divergent series è una serie non convergente (quindi può essere regolare ed avere somma [tex]$\pm \infty$[/tex] oppure essere totalmente indeterminata).
Nell'accezione italiana, si parla di serie divergente quando la serie in esame è regolare epperò ha somma [tex]$\pm \infty$[/tex]; negli altri casi di non convergenza (ossia quando il limite delle somme parziali non esiste) si preferisce dire "serie indeterminata" od "oscillante".
Grazie per la precisazione Gugo 
Mi scuso con frenky
Mi scuso con frenky
Non ho capito cosa fa faximusy nella serie trigonometirca, intanto mi chiarite che significa quell'accento circonflesso? serve per maggiorare?
Non ho capito come fai a maggiorare in quel modo la serie, se fai questo, perchè il confronto lo fai con [tex]-\frac{1}{3n^4}[/tex] e poi hai:
[tex]-\frac{n^3}{3n^4\alfa}[/tex], ma....perchè?
Non ho capito come fai a maggiorare in quel modo la serie, se fai questo, perchè il confronto lo fai con [tex]-\frac{1}{3n^4}[/tex] e poi hai:
[tex]-\frac{n^3}{3n^4\alfa}[/tex], ma....perchè?
@ faximusy: Al denominatore ci va un [tex]$3^\alpha$[/tex]; per il resto mi sembra corretto.
@ guitarplaying: Se ti riferisci a [tex]$\sim$[/tex], è una tilde; si usa per rappresentare l'equivalenza asintotica di due successioni (o funzioni), ossia per denotare il fatto che [tex]$\lim \frac{|a_n|}{|b_n|} =l \in ]0,+\infty[$[/tex].
@ guitarplaying: Se ti riferisci a [tex]$\sim$[/tex], è una tilde; si usa per rappresentare l'equivalenza asintotica di due successioni (o funzioni), ossia per denotare il fatto che [tex]$\lim \frac{|a_n|}{|b_n|} =l \in ]0,+\infty[$[/tex].
"guitarplaying":
Non ho capito cosa fa faximusy nella serie trigonometirca, intanto mi chiarite che significa quell'accento circonflesso? serve per maggiorare?
Non ho capito come fai a maggiorare in quel modo la serie, se fai questo, perchè il confronto lo fai con [tex]-\frac{1}{3n^4}[/tex] e poi hai:
[tex]-\frac{n^3}{3n^4\alfa}[/tex], ma....perchè?
In pratica cerco l'equivalenza asintotica, cioè trovo una funzione che si comporti allo stesso modo (e quindi porti alla stessa conclusione) all'interno della serie.
In pratica, come suggerito da Gugo, devi trovare il limite finito del rapporto fra la tua funzione e, in questo caso, una funzione $x^a$ con $a$ di apposito valore.
Io svolgo così: pongo l'uguaglianza $1/n=x$, in questo modo considero il limite a $0$ (infatti tendendo ad infinito $1/n$ fa $0$), mi riscrivo la funzione e la divido per un certo valore (nel nostro caso $x^4$); ora devi risolvere il limite, che è però è $0/0$, allora applico de L'Hopital finchè ottengo un valore valido e finito (nel nostro caso $-1/3$); ora a ritroso sostituisco la $x$ con $1/n$ in $x^4$ (hai capito perchè come $b_n$ scelgo proprio $x^4$?) e moltiplico il tutto per il risultato del limite. In questo modo ottengo una funzione che è congrua al mio scopo e me lo semplifica di molto
$-n^3/(3^(\alpha)n^(4\alpha))$ lo ottengo (anche se avevo dimenticato $3^(\alpha)$
) sostituendo la funzione ricavata prima all'interno della serie in esame, e quindi diventa banale crearsi la disuguaglianza ricordando per quali esponenti converge una serie armonica generalizzata.
Ringrazio vivamente Gugo per la spiegazione è stato chiarissimo.
Per quanto riguarda l'esercizio trigonometrico ho capito i passaggi da effettuare ma ho qualche domanda,
Hai scelto $b_n=x^4$ perchè volevi ottenere un limite finito o per qualche altro motivo ? perchè non potevi scegliere qualcosa di diverso?
Cio per risolvere altri esercizi simili il procedimento da applicare è sempre lo stesso , cioè trovare una serie asintotica più semplice ?
Grazie davvero
Per quanto riguarda l'esercizio trigonometrico ho capito i passaggi da effettuare ma ho qualche domanda,
Hai scelto $b_n=x^4$ perchè volevi ottenere un limite finito o per qualche altro motivo ? perchè non potevi scegliere qualcosa di diverso?
Cio per risolvere altri esercizi simili il procedimento da applicare è sempre lo stesso , cioè trovare una serie asintotica più semplice ?
Grazie davvero
"frenky46":
Ringrazio vivamente Gugo per la spiegazione è stato chiarissimo.
Per quanto riguarda l'esercizio trigonometrico ho capito i passaggi da effettuare ma ho qualche domanda,
Hai scelto $b_n=x^4$ perchè volevi ottenere un limite finito o per qualche altro motivo ? perchè non potevi scegliere qualcosa di diverso?
Cio per risolvere altri esercizi simili il procedimento da applicare è sempre lo stesso , cioè trovare una serie asintotica più semplice ?
Grazie davvero
Se ad esempio sceglievamo $x^5$, alla fine avrei avuto infinito; con $x^3$ avrei avuto $0$. In pratica, avendo applicato de L'Hopital quattro volte (perchè continuava a risultare $0/0$, ho scelto $x^4$ in modo che la sua derivata quarta sia proprio un valore finito ($24$).
Normalmente si risolvono sempre così, cioè riconducendosi ad una funzione asintotica più manegevole.
Sono più facili quelli dove puoi sostituire una funzione con il polinomio di Taylor/MacLaurin corrispondente, che ovviamente è lo stesso principio (ad esempio, se fosse stato $senx$ avremmo avuto $x-x^3/6$ )
Mh....non mi è chiarissimo....facciamo così, a parte questo esempio, me ne sapresti fare un altro dove usi la stessa tecnica?
Insisto perchè credo sia una cosa importante.
Magari se trovi una serie che ti inventi anche tu, e mi fai capire cosa fai, scrivendo esattamente che limite calcoli e cosa sostituisci insomma come fai ad ottenere questa serie asintoticamente uguale a quella di partenza...
Insisto perchè credo sia una cosa importante.
Magari se trovi una serie che ti inventi anche tu, e mi fai capire cosa fai, scrivendo esattamente che limite calcoli e cosa sostituisci insomma come fai ad ottenere questa serie asintoticamente uguale a quella di partenza...
"guitarplaying":
Mh....non mi è chiarissimo....facciamo così, a parte questo esempio, me ne sapresti fare un altro dove usi la stessa tecnica?
Insisto perchè credo sia una cosa importante.
Magari se trovi una serie che ti inventi anche tu, e mi fai capire cosa fai, scrivendo esattamente che limite calcoli e cosa sostituisci insomma come fai ad ottenere questa serie asintoticamente uguale a quella di partenza...
Certamente. Facciamolo passo passo.
Prendiamo come esempio $(1-cos(1/n))^2$
pongo $x=1/n$
$\lim_{x \to 0} (1-cosx)/(?)$
viene $0$, quindi applico de L'Hopital
$\lim_{x \to 0} (senx)/(?) ->$de L'Hopital$ ->\lim_{x \to 0} cosx/(?) $
Ora viene $1$ al numeratore, ho applicato de L'Hopital due volte, quindi la funzione al denominatore può essere $x^2$
Il tutto ridiventa:
$\lim_{x \to 0} (1-cosx)/(x^2) -> \lim_{x \to 0} (senx)/(2x) -> \lim_{x \to 0} cosx/(2) = 1/2$
Trasformo il denominatore nella variabile d'origine della funzione:
$x^2=(1/n)^2$ e moltiplico questo risultato per il limite ottenuto: $1/(2n^2)$
Ora posso inserirlo nella funzione d'origine:
$(1-cos(1/n))^2 \sim (1/(2n^2))^2$
ecco fatto
converge
Grazie infinite anche da parte mia, ora si che è tutto molto + chiaro.
Grazie Grazie Grazie
Grazie Grazie Grazie
"frenky46":
Grazie infinite anche da parte mia, ora si che è tutto molto + chiaro.
Grazie Grazie Grazie
Figurati
Bene, benissimo, ti ringrazio anche io, questo esempio me lo ricopio, ogni tanto rinfrescarsi le idee può fare bene.
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