Serie con parametro alfa

[Giolly3]

io ho la serie: $ sum_(n = 1)^(oo ) (log(1+1/n) -1/n^a) $ e devo trovare per quali $ a $ essa converge..
Con lo sviluppo di Taylor ho :
$ log(1+1/n) $ $ = 1/n -1/(2n^2) + 1/(3n^3) + o(1/n^3) $
la serie mi diventa: $ 1/n -1/(2n^2)+ 1/(3n^3)+ o(1/n^3)-1/n^a $. e fin qua dovrebbe essere corretto ma poi non saprei come continuare (a me sembra che sia sempre convergente $ AA a $ )... mi potete dare una mano?? grazie tante

[ciampax]

Devi verificare, al variare di $\alpha$ a cosa sia asintotico il termine generale della serie. Non è vero che la serie è sempre convergente, dal momento che ci sono molti casi in cui essa è, ad esempio, asintotica alla serie armonica.

[Giolly3]

"ciampax":Devi verificare, al variare di $\alpha$ a cosa sia asintotico il termine generale della serie. Non è vero che la serie è sempre convergente, dal momento che ci sono molti casi in cui essa è, ad esempio, asintotica alla serie armonica.

ok ma quindi io posso svolgere $ 1/n -1/(2n^2) + 1/(3n^3) + o(1/n^3) - 1/n^a $ facendo la somma mi diventa:
$ 1/n - 1/n^a $
1) se $ a = 1 $ la serie converge
2) se $ a > 1 $ la serie $ ~ 1/n^a$ e quindi converge per la serie armonica generalizzata
3) se $ a < 1 $ la serie $ ~ 1/n$ che quindi diverge per la serie armonica

Questo è lo svolgimento che mi è venuto utilizzando il tuo suggerimento. è corretto? Grazie

[ciampax]

Ehm, nei casi 2) e 3) devi invertire le cose! Se $\alpha>1$ allora la serie si comporta come $1/n$, senza la potenza

[Giolly3]

"ciampax":Ehm, nei casi 2) e 3) devi invertire le cose! Se $\alpha>1$ allora la serie si comporta come $1/n$, senza la potenza

ah aspetta che scema forse ho capito il perchè ... sono frazioni e quindi devo tenere in considerazione la frazione con il denominatore più basso non più alto!!! grazie mille

[ciampax]

Esatto, In alternativa, puoi ragionare così: hai sviluppato con McLaurin perché $1/n\to 0$. Se allora chiami $t=1/n$ ottieni che la serie si comporta come $t-t^\alpha$ e da qui deduci quello che si diceva prima (ricorda che negli sviluppi di McLaurin vince la potenza più bassa).

[Giolly3]

"ciampax":Esatto, In alternativa, puoi ragionare così: hai sviluppato con McLaurin perché $1/n\to 0$. Se allora chiami $t=1/n$ ottieni che la serie si comporta come $t-t^\alpha$ e da qui deduci quello che si diceva prima (ricorda che negli sviluppi di McLaurin vince la potenza più bassa).

sisi però mi trovo meglio con il primo metodo... dato che sei online ne approfitto per chiederti se sono corrette le seguenti serie sempre con il parametro $a$ perchè non ho trovato le soluzioni:

1) $ sum_(n = 1)^(oo ) (-1)^n ln(2n) sin(1/(n^(a/2))) $
io l'ho risolta con il criterio del confronto notando che la serie è $< sin(1/n^(a/2))$... Quest'ultima è uguale a $1/n^(a/2)$ che per la serie armonica generalizzata converge per $a>2$, però non so se è corretto utilizzare il criterio del confronto

[ciampax]

Assolutamente falso! E il logaritmo? Tra l'altro, al variare di $\alpha$ quella può essere una serie a segni alterni oppure oscillante (nel senso che il segno cambia senza uno schema preciso.

[Giolly3]

si mi sono accorta anche io e stavo cancellando il messaggio mi hai preceduta XD ora provo a risvolgerlo

[Giolly3]

"ciampax":Assolutamente falso! E il logaritmo? Tra l'altro, al variare di $\alpha$ quella può essere una serie a segni alterni oppure oscillante (nel senso che il segno cambia senza uno schema preciso.

Ho risvolto la serie ed è conveniente vedere prima se converge assolutamente quindi:
$|ln(2n) sin(1/(n^(a/2)))|$ che si comporta circa come $ 2n/n^(a/2)$ che è uguale a $ 2/n^(a/2-1) $
che converge assolutamente e quindi anche semplicemente per la serie armonica generalizzata per $a > 4$.
Può andare? Grazie ancora

[Giuly191]

Non va bene, la stima asintotica è sbagliata.
$ln(2n)sin(1/n^(a/2)) sim ln(2n)/n^(a/2)$, a questo punto ti consiglio il criterio di Leibniz.