Serie con parametro
Non riesco a capire dove sbaglio ... posto il mio tentativo, se qualcuno ha pazienza...
studiare il carattere della serie:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n} ,\qquad\alpha\in\mathbb{R}
\end{align*}
La serie è certamente a termini positivi per i valori per cui
\begin{align*}
|\alpha|-2>0, \alpha <-2,\alpha>2
\end{align*}
osserviamo inoltre che se $\alpha=\pm2,$ la serie diventa
\begin{align*}
&\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{0}{(n+n^{2})\ln n}= 0\to \text{converge a zero}\qquad\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{0}{(n+n^{-2})\ln^{-1} n}= 0\to \text{converge a zero}
\end{align*}
Consideriamo allora la serie per i valori ,$\alpha <-2,\alpha>2:$ in tal caso la serie è a termini positivi, e dunque considerando il termine generale, si ha:
\begin{align*}
\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\sim\begin{cases} \mbox{se }\alpha <-2 ,&\displaystyle\frac{ \left(\ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^n}{ n }\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\ln (n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^{(n+1)}}{ n +1 }\cdot\frac{n}{ \left(\ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^n}\\
&= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[\frac{\ln (n+1)}{ \ln n }\right]^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\alpha^{(n+1)} }{\alpha^n} \cdot\frac{n}{ n+1 } =\alpha<-2<1\to \text{converge}\\
\mbox{se }\alpha >2,&\displaystyle\frac{ \alpha^n}{ n^{ \alpha}\ln^{\frac{\alpha}{2}}n }\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} =\frac{ \alpha^{(n+1)}}{ (n+1)^{ \alpha}\left(\ln(n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot\frac{ n^{ \alpha}\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}{ \alpha^n}\\
&= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[\frac{ \ln n }{\ln (n+1)}\right]^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\alpha^{(n+1)} }{\alpha^n} \cdot\left(\frac{n}{ n+1 }\right)^{\alpha}=\alpha>2\to \text{diverge}
\end{cases}
\end{align*}
consideriamo ora il caso in cui $-2<\alpha <2 :$ in tal caso la serie non è termini positivi, e dunque considerando il valore assoluto del termine generale, si ha
\begin{align*}
&\left|\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\right|=\frac{\left(\left||\alpha|-2\right|\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} =\frac{\left(||\alpha|- 2|\right)^{n+1}}{\left[n+1+(n+1)^{\alpha}\right]\left(\ln n+1\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot\frac{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}{\left(||\alpha|- 2|\right)^n}\\
&=||\alpha|- 2|=\begin{cases}\mbox{se }&||\alpha|- 2| <1,-1<|\alpha|+ 2<1,-3<|\alpha|<3, -3< \alpha <3\,\,\,\,\to \text{converge assolutamente}\\
\mbox{se }&||\alpha|- 2 | >1, |\alpha|<-3, |\alpha| > 3,\alpha< -3,\alpha> 3\,\,\,\,\to \text{diverge}\\
\mbox{se }&||\alpha|- 2| =1,\alpha=\pm3\to\text{inefficace}
\end{cases}
\end{align*}
Il criterio del rapporto fallisce per\,\,$\alpha=\pm3,$ allora si osserva che:
se $\alpha=3,$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{(n+n^{3})\ln^{\frac{3}{2}}n}\sim\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{ n^{3} \ln^{\frac{3}{2}}n}\to \text{converge}
\end{align*}
se $\alpha=-3,$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{(n+n^{3})\ln^{-\frac{3}{2}}n}=\left|\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{ n^{3} \ln^{-\frac{3}{2}}n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{ n^{3} \ln^{-\frac{3}{2}}n} \to \text{converge}
\end{align*}
Riassumendo allora:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n} =\begin{cases}\mbox{se }& -3\le \alpha \le-2 \,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ 2\le \alpha \le3\to \text{converge }\\
\mbox{se }& \alpha<-3 \,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ -2< \alpha <2,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ \alpha>3\to \text{diverge }
\end{cases}
\end{align*}
studiare il carattere della serie:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n} ,\qquad\alpha\in\mathbb{R}
\end{align*}
La serie è certamente a termini positivi per i valori per cui
\begin{align*}
|\alpha|-2>0, \alpha <-2,\alpha>2
\end{align*}
osserviamo inoltre che se $\alpha=\pm2,$ la serie diventa
\begin{align*}
&\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{0}{(n+n^{2})\ln n}= 0\to \text{converge a zero}\qquad\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{0}{(n+n^{-2})\ln^{-1} n}= 0\to \text{converge a zero}
\end{align*}
Consideriamo allora la serie per i valori ,$\alpha <-2,\alpha>2:$ in tal caso la serie è a termini positivi, e dunque considerando il termine generale, si ha:
\begin{align*}
\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\sim\begin{cases} \mbox{se }\alpha <-2 ,&\displaystyle\frac{ \left(\ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^n}{ n }\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\ln (n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^{(n+1)}}{ n +1 }\cdot\frac{n}{ \left(\ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\alpha^n}\\
&= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[\frac{\ln (n+1)}{ \ln n }\right]^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\alpha^{(n+1)} }{\alpha^n} \cdot\frac{n}{ n+1 } =\alpha<-2<1\to \text{converge}\\
\mbox{se }\alpha >2,&\displaystyle\frac{ \alpha^n}{ n^{ \alpha}\ln^{\frac{\alpha}{2}}n }\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} =\frac{ \alpha^{(n+1)}}{ (n+1)^{ \alpha}\left(\ln(n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot\frac{ n^{ \alpha}\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}{ \alpha^n}\\
&= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left[\frac{ \ln n }{\ln (n+1)}\right]^{\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\alpha^{(n+1)} }{\alpha^n} \cdot\left(\frac{n}{ n+1 }\right)^{\alpha}=\alpha>2\to \text{diverge}
\end{cases}
\end{align*}
consideriamo ora il caso in cui $-2<\alpha <2 :$ in tal caso la serie non è termini positivi, e dunque considerando il valore assoluto del termine generale, si ha
\begin{align*}
&\left|\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\right|=\frac{\left(\left||\alpha|-2\right|\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} =\frac{\left(||\alpha|- 2|\right)^{n+1}}{\left[n+1+(n+1)^{\alpha}\right]\left(\ln n+1\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot\frac{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n}{\left(||\alpha|- 2|\right)^n}\\
&=||\alpha|- 2|=\begin{cases}\mbox{se }&||\alpha|- 2| <1,-1<|\alpha|+ 2<1,-3<|\alpha|<3, -3< \alpha <3\,\,\,\,\to \text{converge assolutamente}\\
\mbox{se }&||\alpha|- 2 | >1, |\alpha|<-3, |\alpha| > 3,\alpha< -3,\alpha> 3\,\,\,\,\to \text{diverge}\\
\mbox{se }&||\alpha|- 2| =1,\alpha=\pm3\to\text{inefficace}
\end{cases}
\end{align*}
Il criterio del rapporto fallisce per\,\,$\alpha=\pm3,$ allora si osserva che:
se $\alpha=3,$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{(n+n^{3})\ln^{\frac{3}{2}}n}\sim\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{ n^{3} \ln^{\frac{3}{2}}n}\to \text{converge}
\end{align*}
se $\alpha=-3,$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{(n+n^{3})\ln^{-\frac{3}{2}}n}=\left|\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{ n^{3} \ln^{-\frac{3}{2}}n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{1}{ n^{3} \ln^{-\frac{3}{2}}n} \to \text{converge}
\end{align*}
Riassumendo allora:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{\left(|\alpha|-2\right)^n}{(n+n^{\alpha})\ln^{\frac{\alpha}{2}}n} =\begin{cases}\mbox{se }& -3\le \alpha \le-2 \,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ 2\le \alpha \le3\to \text{converge }\\
\mbox{se }& \alpha<-3 \,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ -2< \alpha <2,\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\ \alpha>3\to \text{diverge }
\end{cases}
\end{align*}
Risposte
...nessuno ??
Fa un po' paura tutto quel LaTeX (però ti faccio i complimenti perché lo maneggi molto bene), non ti si sta rispondendo perché è impegnativo leggerlo tutto. Qual è il problema? Non ti ritrovi con i risultati del libro?
si ... in realtà mi dice che converge in questi intervalli
$-3\le \alpha \le-1 mbox{ e } 1\le \alpha \le3 $
$-3\le \alpha \le-1 mbox{ e } 1\le \alpha \le3 $
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