Serie con parametro
Buon pomeriggio a tutti! 
Ho qui di seguito una serie che mi crea problemi. Deve essere studiata al variare del parametro $ alpha in RR $ .
Questa è la serie: $ sum_(1)^(oo ) [1-cos(1/n)]^alpha / (n^(alpha-1)+1) $
Devo vedere prima come si comporta il termine generale facendo il $ lim_(n -> oo ) an $ in modo da vedere per quali valori di \alpha il limite risulta nullo, così da poterlo studiare proprio per quei valori, con opportuni criteri. E' esatto?
Ho qui di seguito una serie che mi crea problemi. Deve essere studiata al variare del parametro $ alpha in RR $ .
Questa è la serie: $ sum_(1)^(oo ) [1-cos(1/n)]^alpha / (n^(alpha-1)+1) $
Devo vedere prima come si comporta il termine generale facendo il $ lim_(n -> oo ) an $ in modo da vedere per quali valori di \alpha il limite risulta nullo, così da poterlo studiare proprio per quei valori, con opportuni criteri. E' esatto?
Risposte
si, ovviamente prima di tutto deve essere rispettato il criterio necessario per la convergenza, e cioè che il termine generale sia infinitesimo quando $ntooo$.
Perfetto, grazie Covenant.
Per procedere allo studio del limite, studiarlo così è un po' difficile. Posso ricondurmi a Taylor?
- $ (1-cos(1/n))->1/(2n^2)+o(1/n^2) $ poi lo elevo ad alpha in questo modo: $ 1/(2n^(2alpha))+o(1/n^2) $. Fin qui va bene?
Per procedere allo studio del limite, studiarlo così è un po' difficile. Posso ricondurmi a Taylor?
- $ (1-cos(1/n))->1/(2n^2)+o(1/n^2) $ poi lo elevo ad alpha in questo modo: $ 1/(2n^(2alpha))+o(1/n^2) $. Fin qui va bene?
Io procederei così:
La serie è a termini positivi.
Il termine $(1-cos(1/n))^\alpha$ è infinitesimo di ordine $2\alpha$. Perchè? bè lo puoi capire dal limite notevole: $lim_(ntooo)(1-cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2$. L'altro fattore è un pò più delicato, $1/(n^(\alpha-1)+1)$ se $\alpha>1$ è infinitesimo di ordine $\alpha-1$. Se invece è $\alpha<=1$ allora non è un infinitesimo (ha ordine di infinitesimo nullo). Quindi se $\alpha>1$ allora l'ordine di infinitesimo "totale" è: $2\alpha+\alpha-1=3\alpha-1$. La serie sarà convergente se e solo se il termine generale è infinitesimo di ordine maggiore di 1, ovvero deve essere: $3\alpha-1>1$ da cui $\alpha>2/3$. Tuttavia domina la condizione $\alpha>1$.
Se invece è $\alpha<=1$ allora l'ordine totale di infinitesimo è dato solo da $2\alpha$ e di conseguenza per la convergenza deve risultare $\alpha>1/2$. La convergenza in questo caso è quindi data dai casi in cui: $1/2<\alpha<=1$.
Mettendo tutto insieme si conclude che la serie converge se e solo se $\alpha>1/2$, diverge negli altri casi.
Comunque prendi con le pinze quello che ho scritto perchè sono andato un pò di fretta, meglio attendere il conforto di qualche altra voce.
La serie è a termini positivi.
Il termine $(1-cos(1/n))^\alpha$ è infinitesimo di ordine $2\alpha$. Perchè? bè lo puoi capire dal limite notevole: $lim_(ntooo)(1-cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2$. L'altro fattore è un pò più delicato, $1/(n^(\alpha-1)+1)$ se $\alpha>1$ è infinitesimo di ordine $\alpha-1$. Se invece è $\alpha<=1$ allora non è un infinitesimo (ha ordine di infinitesimo nullo). Quindi se $\alpha>1$ allora l'ordine di infinitesimo "totale" è: $2\alpha+\alpha-1=3\alpha-1$. La serie sarà convergente se e solo se il termine generale è infinitesimo di ordine maggiore di 1, ovvero deve essere: $3\alpha-1>1$ da cui $\alpha>2/3$. Tuttavia domina la condizione $\alpha>1$.
Se invece è $\alpha<=1$ allora l'ordine totale di infinitesimo è dato solo da $2\alpha$ e di conseguenza per la convergenza deve risultare $\alpha>1/2$. La convergenza in questo caso è quindi data dai casi in cui: $1/2<\alpha<=1$.
Mettendo tutto insieme si conclude che la serie converge se e solo se $\alpha>1/2$, diverge negli altri casi.
Comunque prendi con le pinze quello che ho scritto perchè sono andato un pò di fretta, meglio attendere il conforto di qualche altra voce.
D'accordo, ma comunque grazie per avermi risposto in modo chiaro.
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