Serie con parametro
Salve a tutti sono nuovo e mi chiamo Mario 
Sto cercando di risolvere questa serie con parametro:
$sum_(n = +oo)^(n = 1) (sqrt(n)+1)/(n^x+arctan(n))$
Ho iniziato cominciando a scartare un po' di valori utilizzando la condizione di Cauchy
e ho trovato che per $x<=1/2$ non è soddisfatta e quindi la serie diverge,
adesso però mi sono bloccato e non so più come continuare, sto provando di tutto ma niente...
grazie
Sto cercando di risolvere questa serie con parametro:
$sum_(n = +oo)^(n = 1) (sqrt(n)+1)/(n^x+arctan(n))$
Ho iniziato cominciando a scartare un po' di valori utilizzando la condizione di Cauchy
e ho trovato che per $x<=1/2$ non è soddisfatta e quindi la serie diverge,
adesso però mi sono bloccato e non so più come continuare, sto provando di tutto ma niente...
grazie
Risposte
Non è difficile insomma, si dice sempre così, poi in realtà... 
Devi considerare due casi distinti, prima di tutto cerca la divergenza, e in parte ci sei riuscito, hai riconosciuto che per [tex]x<1/2[/tex] non c'è speranza di convergenza perchè viene meno la condizione necessaria, cioè la convergenza a zero della successione dei termini della serie, ma ti puoi spingere oltre, e minorare la tua successione con una in cui l'arcotangente vale il suo valore al limite, cioè $pi/2$ e poi considerare quella.
Quindi effettuare un confronto asintotico con la serie armonica generalizzata con esponente uguale ad [tex]\alpha<=1[/tex]. Alla fine della fiera trovi una espressione di questo tipo:
[tex]\sqrt{n^{1-2x +2\alpha}}[/tex] con [tex]x>\alpha[/tex]
e se vuoi che la serie diverga, quella radice quadrata deve valere $1$, mentre [tex]\alpha<=1[/tex], questo avviene per i valori di $x$ che al massimo raggiungono $3/2$ cioè [tex]x<= {3\over2}[/tex], al di sopra del quale [tex]\alpha[/tex] diventa maggiore di $1$, quindi non puoi più provare la divergenza, allora salti alla convergenza e consideri un successione che stavolta maggiora la tua, ponendo ad esempio l'arcotangente uguale a $0$.
Di nuovo esegui un confronto asintotico, con un serie armonica generalizzata, ponendo l'esponente [tex]\alpha[/tex] stavolta maggiore di $1$.
L'espressione che ottieni alla fine sarà sempre quella sopra, ma stavolta garantire che sotto radice venga il valore $1$, significa garantire la convergenza, e se provi con valori di $x >3/2$ trovi sempre un [tex]\alpha > 1[/tex] per cui ciò è possibile.
Devi considerare due casi distinti, prima di tutto cerca la divergenza, e in parte ci sei riuscito, hai riconosciuto che per [tex]x<1/2[/tex] non c'è speranza di convergenza perchè viene meno la condizione necessaria, cioè la convergenza a zero della successione dei termini della serie, ma ti puoi spingere oltre, e minorare la tua successione con una in cui l'arcotangente vale il suo valore al limite, cioè $pi/2$ e poi considerare quella.
Quindi effettuare un confronto asintotico con la serie armonica generalizzata con esponente uguale ad [tex]\alpha<=1[/tex]. Alla fine della fiera trovi una espressione di questo tipo:
[tex]\sqrt{n^{1-2x +2\alpha}}[/tex] con [tex]x>\alpha[/tex]
e se vuoi che la serie diverga, quella radice quadrata deve valere $1$, mentre [tex]\alpha<=1[/tex], questo avviene per i valori di $x$ che al massimo raggiungono $3/2$ cioè [tex]x<= {3\over2}[/tex], al di sopra del quale [tex]\alpha[/tex] diventa maggiore di $1$, quindi non puoi più provare la divergenza, allora salti alla convergenza e consideri un successione che stavolta maggiora la tua, ponendo ad esempio l'arcotangente uguale a $0$.
Di nuovo esegui un confronto asintotico, con un serie armonica generalizzata, ponendo l'esponente [tex]\alpha[/tex] stavolta maggiore di $1$.
L'espressione che ottieni alla fine sarà sempre quella sopra, ma stavolta garantire che sotto radice venga il valore $1$, significa garantire la convergenza, e se provi con valori di $x >3/2$ trovi sempre un [tex]\alpha > 1[/tex] per cui ciò è possibile.
Sei stato chiarissimo!
Un'ultima cosa: quando mi ritrovo a studiare il carattere di serie parametriche con un $x^n$ davanti
(quindi serie a termini reali) è conveniente fare un confronto asintotico con una
serie geometrica proprio uguale a $x^n$per poi passare ad analizzare i casi e valori che può assumere $x$?
Un'ultima cosa: quando mi ritrovo a studiare il carattere di serie parametriche con un $x^n$ davanti
(quindi serie a termini reali) è conveniente fare un confronto asintotico con una
serie geometrica proprio uguale a $x^n$per poi passare ad analizzare i casi e valori che può assumere $x$?
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