Serie con parametro.

[galles90]

Buonasera sono di nuovo quì

Ho la seguente serie

$sum_(n=2)^(infty) (1-1/n^2)^(n^a) a in RR $

nella soluzione dimostra che per il valore $a le 2$, la serie diverge, invece, per $a>2$ si ha

$a_n=e^(n^aln(1-1/n^2))=e^(-n^(a-2)+o(n^(a-2)))=e^(-n^(a-2)(1+o(1))) le e^(-1/2n^(a-2)) \ qquad n to + infty $

la serie converge.
Mi è chiaro tutto, tranne l'ultimo passaggio, ossia, l'ultimo passaggio è vero perchè $o(1)$, vuole indicare che la successione $ln(1-1/n^2) to 0$ per $n to + infty$, quindi, trascurabile.

Grazie in anticipo per le risposte.

[caulacau]

Semmai, quel passaggio sfrutta il fatto che \(\log(1+t)\overset{t\simeq 0}\asymp t\), ovvero \(\log(1-t) \overset{t\simeq 0}=t + o(t)\) e il resto è algebretta: \(\exp(n^a \log(1-1/n^2))\asymp \exp(-n^a/n^2) = e^{-n^{a-2}}\).

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Beh, considerando solo l'esponente della prima eguaglianza si ha:

$\lim_{n \to +\infty} n^a ln(1 - 1/n^2) = - \lim_{n \to +\infty} \frac{ln(1 - 1/n^2)}{-1/n^a} = \{(0 \text{ per } a < 2),(-1 \text{ per } a = 2),(-\infty \text{ per } a > 2):} $

Quindi per $a <= 2 $ la serie proposta non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ e dato che è a termini positivi è necessariamente positivamente divergente.

[galles90]

Grazie ad entrembi per le risposte, ciao.