Serie con parametro
Salve a tutti,non riesco a svolgere questa serie
$ sum^(N = oo \) (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) $
Devo trovare il parametro a affinché la serie converge , non so proprio da dove iniziare
$ sum^(N = oo \) (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) $
Devo trovare il parametro a affinché la serie converge , non so proprio da dove iniziare
Risposte
Ciao Salvy,
Potresti iniziare a scriverla nella forma seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} $
A questo punto moltiplicherei numeratore e denominatore per $ (n^(2q)-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4} $ e poi ancora...
Potresti iniziare a scriverla nella forma seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} $
A questo punto moltiplicherei numeratore e denominatore per $ (n^(2q)-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4} $ e poi ancora...
non so continuare
Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro), suggerirei di mettere in evidenza i termini di grado massimo e di usare le solite tecniche di calcolo per stabilire l'ordine di infinitesimo degli addendi.
P.S.: Tra le altre cose, se $q$ è "piccolo", gli addendi non hanno significato. Perché?
Quali $q$ bisogna quindi considerare affinché tutto funzioni?
P.S.: Tra le altre cose, se $q$ è "piccolo", gli addendi non hanno significato. Perché?
Quali $q$ bisogna quindi considerare affinché tutto funzioni?
non ho capito cosa intendi
"Salvy":
non ho capito cosa intendi
Si vede che non leggi con attenzione e/o che non rifletti abbastanza su quel che leggi.
Cosa non capisci nella frase "suggerirei di mettere in evidenza i termini di grado massimo e di usare le solite tecniche di calcolo per stabilire l'ordine di infinitesimo degli addendi"?
Ho provato a mettere in evidenza i termini di grado massimo , ma mi si semplifica tutto
Salvy, per favore, non ragionare come se noi riuscissimo a leggere sui tuoi fogli... Quando fai dei calcoli e non ti tornano i conti, posta i passaggi.
@gugo82:
Perché dici che non funziona? Potrei sbagliarmi, ma mi risulta che si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{[(n^{2q}-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4}][(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}]}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n^{2q}-n} - \sqrt{n^{2q}}}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n}{[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} = $
$ = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^{-1}[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} $
e quest'ultima serie è più semplice da studiare, considerando che ovviamente deve essere $n^{2q} - n >= 0 \implies q \ge 1/2 $
ma si vede subito che per $q = 1/2 $ la serie proposta non può convergere.
"gugo82":
Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro) [...]
Perché dici che non funziona? Potrei sbagliarmi, ma mi risulta che si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^(2q)-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{[(n^{2q}-n)^{1/4} - (n^{2q})^{1/4}][(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}]}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n^{2q}-n} - \sqrt{n^{2q}}}{(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}} = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n}{[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} = $
$ = - \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^{-1}[(n^{2q}-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4}][\sqrt{n^{2q}-n} + \sqrt{n^{2q}}]} $
e quest'ultima serie è più semplice da studiare, considerando che ovviamente deve essere $n^{2q} - n >= 0 \implies q \ge 1/2 $
ma si vede subito che per $q = 1/2 $ la serie proposta non può convergere.
@pilloeffe: Perché devi fare tutto in più passaggi.
Canonicamente, una differenza di radici quarte \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\) si razionalizza moltiplicando e dividendo per \( \sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{a^2 b} + \sqrt[4]{ab^2} + \sqrt[4]{b^3}\).
Canonicamente, una differenza di radici quarte \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\) si razionalizza moltiplicando e dividendo per \( \sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{a^2 b} + \sqrt[4]{ab^2} + \sqrt[4]{b^3}\).
"pilloeffe":
[quote="gugo82"]
Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro) [...]
Perché dici che non funziona? [/quote]
"gugo82":
Perché devi fare tutto in più passaggi.
Quindi non è vero che non funziona: eventualmente si può dire che è più laborioso, ma non che non funziona.
“Non funziona” = non elimina la presenza di radici a numeratore.
Più chiaro?
Più chiaro?
"gugo82":
“Non funziona” = non elimina la presenza di radici a numeratore.
Così va meglio.
Proprio per questo nel mio post c'era un suggerimento rivolto all'OP mirato a far ripetere l'operazione, infatti
"pilloeffe":
[...]A questo punto moltiplicherei numeratore e denominatore per $ (n^(2q)-n)^{1/4} + (n^{2q})^{1/4} $ e poi ancora...
"gugo82":
Più che moltiplicare come suggerisce pilloeffe (cosa che non funziona con le radici quarte, tra l'altro), suggerirei di mettere in evidenza i termini di grado massimo e di usare le solite tecniche di calcolo per stabilire l'ordine di infinitesimo degli addendi.
P.S.: Tra le altre cose, se $q$ è "piccolo", gli addendi non hanno significato. Perché?
Quali $q$ bisogna quindi considerare affinché tutto funzioni?
mettendo in evidenza i termini di grado massimo ottengo questo :
$ (n^(2q)-n)^(1/4) -sqrt(n^q) $ = $ [n^(2q)(1-n^(-2q+1))]^(1/4) - n^(q/2) $ = $ (n^(q/2)(1-n^(-2q+1)))-n^(q/2)=n^(q/2)((1-(n^(-2q+1))^(1/4))-1) $
E chi ti dice che $n^(2q)$ sia il termine di grado massimo?
Di pende da $q$, immagino. Ma in realtà il dubbio non c’è perché...
Ad ogni buon conto, risolto il problema di cui sopra, il termine $(1 - n^(1-2q))^(1/4) -1$ si può approssimare con Taylor.
Di pende da $q$, immagino. Ma in realtà il dubbio non c’è perché...
Ad ogni buon conto, risolto il problema di cui sopra, il termine $(1 - n^(1-2q))^(1/4) -1$ si può approssimare con Taylor.
Perché non c'è il dubbio dimmelooo pleaseee, non ci arrivo
Scusa Salvy, vatti a rileggere con attenzione le osservazioni che sono state fatte in merito al parametro $q $ e dovresti riuscire a trovare da solo la risposta alla domanda che ti ha posto gugo82...
Il problema è che non le ho capite
Mettiamola così: come deve essere il radicando di una radice di indice pari ?
Maggiore o uguale a 0
Quindi deve essere per forza maggiore o uguale ad 1/2 giusto?
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