Serie con parametro

[nic111]

Ciao, ho alcuni dubbi sulla risoluzione di questa serie:
$\sum_{n=1}^infty$ $(sqrt(n^4+1)-root(3)(n^6+4))/(n^\alpha)$
Devo trovare il valore di $\alpha$ per il quale la serie converge
Io ho fatto cosi:
Ho moltiplicato e diviso per $(sqrt(n^4+1)+root(3)(n^6+4))$
Arrivando a questo punto:
$(n^4+1-n^6+4)/(n^\alpha*(sqrt(n^4+1)+root(3)(n^6+4)) $
raccolgo $n^4$ e $n^6$ all'interno della radice lo porto fuori dalla radice raccolgo $n^2$ e sommo $\alpha$ con 2
$(n^4+1-n^6+4)/(n^(\alpha+2)*(sqrt(1+1/n^4)+root(3)(1+4/n^6)) $
Ora la mia funzione dovrebbe essere asintotica ad
$(-n^6)/(n^(\alpha+2) $
posso riscrivere come
$(-1)/(n^(\alpha-4) $
Ora posso confrontarla con la serie armonica quindi la serie converge solo se: $\alpha-4>1 $ quindi se $\alpha>5 $
Però il risultato non è corretto dove sbaglio ?
Inoltre ho qualche dubbio sul fatto che posso confrontare questa serie con quella armonica avendo $-1$ e non $1$ al numeratore

[liberatorimatteo]

Attento, $(root(3)(n^6+4))^2$ non è $n^6+4$

[pilloeffe]

Ciao nic11,

Freebulls ha ragione...
Farei così:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (sqrt(n^4+1)-root(3)(n^6+4))/(n^\alpha) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n^2 sqrt(1+1/n^4) - n^2 root(3)(1+4/n^6))/(n^\alpha) = $
$ =\sum_{n = 1}^{+\infty} (sqrt(1+1/n^4) - root(3)(1+4/n^6))/(n^{\alpha - 2}) $[tex]\sim[/tex] $\sum_{n = 1}^{+\infty} ((1+\frac{1}{2n^4}) - (1+\frac{4}{3n^6}))/(n^{\alpha - 2}) $ [tex]\sim[/tex]
[tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 1}^{+\infty} (\frac{1}{2n^4})/(n^{\alpha - 2}) = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} (\frac{1}{n^4})/(n^{\alpha - 2}) = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^{\alpha + 2}) $

Pertanto la serie proposta converge per $\alpha + 2 > 1 \iff \alpha > - 1 $

[nic111]

Grazie mille!