Serie con parametro.

[VALE014]

buongiorno ho dei problemi con questa serie. $ sum_(n=1)^(oo)((x^(2n)/n+n^(2n)/x) $ . Applico criterio del rapporto e convergenza assoluta.
$ lim_(n -> oo)|[(x^(4n)x^4+(n+1)^(4x))nx]/[(nx+x)(x^(4n)+n^(4x))]| $
$ lim_(n -> oo)|[(x^(4n))(x^4+((n+1)^(4x)]/x^(4n)(nx)/x^(4n)]/[x^(4^n)(nx+x)/x^(4n)(1+n^(4x)/x^(4n)]| $ da qui non so più muovermi,(sempre se ho ragionato bene e ho fatto bene i conti).grazie in anticipo e buona giornata

[killing_buddha]

Il termine generale non è infinitesimo: $x$ non può essere zero, se è positivo la serie diverge a \(+\infty\), se è negativo a \(-\infty\).

[VALE014]

Però devo trovare per quali x

[killing_buddha]

Nessuno, apparentemente.

[VALE014]

Il risultato è $ -1

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[pilloeffe]

Ciao VALE0,

A parte che hai applicato male il criterio del rapporto, sei sicura del testo della serie proposta?
Se si considera la serie proposta come somma di due serie

$ sum_{n = 1}^{+\infty}(x^(2n)/n+n^(2n)/x) = sum_{n = 1}^{+\infty} x^(2n)/n + sum_{n = 1}^{+\infty} n^(2n)/x $

la prima serie converge notoriamente a $ - ln(1 - x^2) $ per $ - 1 < x < 1 $, ma per gli stessi valori la seconda diverge, quindi l'unica possibilità è che la serie proposta converga assolutamente senza scomporla nella somma di due serie. Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta però salvo che non abbia sbagliato i conti non mi riesce di trovare alcun valore di $x$ per il quale risulti $ lim_{n \to +\infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| < 1 $, pertanto la serie proposta è divergente.

[VALE014]

mi scusi si ho sbagliato a scirvere ma non me la fa modificare . $ sum_(n = \1)^{oo}(x^(2n)/n+n^(2x)/x) $ . mi scuso ancora