Serie con parametro
ragazzi sto svolgendo questa serie ma mi sono bloccata, (sempre se ho fatto bene). $ sum_{n=0}^{\+infty}sqrt(x^n)/(1+x^n) $ . uso convergenza assoluta più rapporto. $ lim_(n -> oo) |(sqrt(x) sqrt(x^n) (1+x^n))|/(|sqrt(x^n)(1+x^(n+1))| $ = $ lim_(n -> oo) ((|sqrt(x)(1+x^n|))/(|1+x^n x|)) $ = $ |sqrt(x)|lim_(n -> oo) |(x^n(1/(x^n+1)))|/(|x^n(1/x^n+x)|) $ non so più continuare, grazie in anticipo
Risposte
In che insieme vive $x$?
Reale
Ciao VALE0,
Poiché $x \in \RR $, si assumerà che si possa scrivere:
$ sum_{n=0}^{\+infty}sqrt(x^n)/(1+x^n) = sum_{n=0}^{\+infty} (x^{n/2})/(1+x^n) = sum_{n=0}^{\+infty} a_n(x) $
Comincerei con l'osservare che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $0$, mentre non converge per $x = 1 $ e per $x = - 1$, cioè non converge per $|x| = 1 $
La serie assoluta è la seguente:
$ sum_{n=0}^{\+infty} |a_n(x)| = sum_{n=0}^{\+infty} (|x|^{n/2})/|1+x^n| $
Si ha $lim_{n \to \+infty} |a_n(x)| = lim_{n \to \+infty} (|x|^{n/2})/|1+x^n| = 0 quad \AA x : |x| \ne 1 $
Dunque la serie assoluta può convergere per tutti i valori di $x$ purché $|x| \ne 1 $
Vediamo se effettivamente converge applicando il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to \+infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| = lim_{n \to \+infty} frac{frac{|x|^{(n + 1)/2}}{|1 + x^{n + 1}|}}{frac{|x|^{n/2}}{|1+x^n|}} = lim_{n \to \+infty} |x|^{1/2} frac{|1 + x^n|}{|1+x^{n + 1}|} = lim_{n \to \+infty} |x|^{1/2} frac{|x|^n|1 + 1/x^n|}{|x|^{n + 1}|1+1/x^{n + 1}|} = $
$ = lim_{n \to \+infty} frac{|1 + 1/x^n|}{sqrt{|x|}|1+1/x^{n + 1}|} < 1 \quad \AA x \in \RR - {- 1, 0, 1} $
Si conclude che la serie proposta converge assolutamente e quindi semplicemente $\AA x : |x| \ne 1 $
Poiché $x \in \RR $, si assumerà che si possa scrivere:
$ sum_{n=0}^{\+infty}sqrt(x^n)/(1+x^n) = sum_{n=0}^{\+infty} (x^{n/2})/(1+x^n) = sum_{n=0}^{\+infty} a_n(x) $
Comincerei con l'osservare che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $0$, mentre non converge per $x = 1 $ e per $x = - 1$, cioè non converge per $|x| = 1 $
La serie assoluta è la seguente:
$ sum_{n=0}^{\+infty} |a_n(x)| = sum_{n=0}^{\+infty} (|x|^{n/2})/|1+x^n| $
Si ha $lim_{n \to \+infty} |a_n(x)| = lim_{n \to \+infty} (|x|^{n/2})/|1+x^n| = 0 quad \AA x : |x| \ne 1 $
Dunque la serie assoluta può convergere per tutti i valori di $x$ purché $|x| \ne 1 $
Vediamo se effettivamente converge applicando il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to \+infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| = lim_{n \to \+infty} frac{frac{|x|^{(n + 1)/2}}{|1 + x^{n + 1}|}}{frac{|x|^{n/2}}{|1+x^n|}} = lim_{n \to \+infty} |x|^{1/2} frac{|1 + x^n|}{|1+x^{n + 1}|} = lim_{n \to \+infty} |x|^{1/2} frac{|x|^n|1 + 1/x^n|}{|x|^{n + 1}|1+1/x^{n + 1}|} = $
$ = lim_{n \to \+infty} frac{|1 + 1/x^n|}{sqrt{|x|}|1+1/x^{n + 1}|} < 1 \quad \AA x \in \RR - {- 1, 0, 1} $
Si conclude che la serie proposta converge assolutamente e quindi semplicemente $\AA x : |x| \ne 1 $
grazie mille:) quindi è errato come l'ho fatto io ??
"VALE0":
grazie mille:)
Prego
"VALE0":
quindi è errato come l'ho fatto io ??
Diciamo che, come ti capita spesso, metti i valori assoluti un po' a caso...
Mi sto riferendo in particolare al secondo passaggio del limite che hai svolto.
Dovresti prestare attenzione su questo punto, specialmente all'esame. L'ultimo passaggio sul limite che hai svolto poi è proprio errato...
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