Serie con parametro
Determinare il carattere della serie al variare del parametro reale $\alpha$.
$$\sum n^{\alpha} \frac{\sqrt[5]{2n^3 +n^2} -\sqrt[5]{2n^3}}{\log(\frac{2}{\pi} \arctan(n^2))}$$
Ho che il numeratore $(2n^3 +n^2)^{1/5} -(2n^3)^{1/5} \sim \frac{2^{1/5} n^{3/5}}{10 n^2}$.
Ma il logaritmo mi crea casini, perchè tende a 0 e quindi il termine generale tende a $+\infty$! (e quindi ciao ciao convergenza).
Come faccio ad usare il parametro per "controllare" il denominatore?
(Il "sim" sta per asintotico, non so perché il latex non me lo prenda)
$$\sum n^{\alpha} \frac{\sqrt[5]{2n^3 +n^2} -\sqrt[5]{2n^3}}{\log(\frac{2}{\pi} \arctan(n^2))}$$
Ho che il numeratore $(2n^3 +n^2)^{1/5} -(2n^3)^{1/5} \sim \frac{2^{1/5} n^{3/5}}{10 n^2}$.
Ma il logaritmo mi crea casini, perchè tende a 0 e quindi il termine generale tende a $+\infty$! (e quindi ciao ciao convergenza).
Come faccio ad usare il parametro per "controllare" il denominatore?
(Il "sim" sta per asintotico, non so perché il latex non me lo prenda)
Risposte
Prova a ricordare che $\log(1+x)$ va come $x$ per $x$ che va a $0$...
Ciao Berker,
Preliminarmente a quanto giustamente osservato da Luca.Lussardi, raccoglierei $root[5]{2n^3} $ a numeratore (in modo da ricondursi al ben noto limite notevole con la radice, di indice $5$ nel caso in esame) e poi farei uso della relazione che vedo andare molto di moda ultimamente:
$arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 \implies arctan(x) = pi/2 - arctan(1/x) $
con $x := n^2 $ nel tuo caso. Quindi si ha:
$sum_{n = 1}^{+infty} n^{\alpha} \frac{root[5]{2n^3 +n^2} - root[5]{2n^3}}{\log[\frac{2}{\pi} \arctan(n^2)]} = sum_{n = 1}^{+infty} n^{\alpha} frac{root[5]{2n^3}(root[5]{1 + frac{1}{2n}} - 1)}{\log[1 - frac{2}{\pi}arctan(1/n^2)]} $
Ora dovresti essere in grado di concludere...
Preliminarmente a quanto giustamente osservato da Luca.Lussardi, raccoglierei $root[5]{2n^3} $ a numeratore (in modo da ricondursi al ben noto limite notevole con la radice, di indice $5$ nel caso in esame) e poi farei uso della relazione che vedo andare molto di moda ultimamente:
$arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 \implies arctan(x) = pi/2 - arctan(1/x) $
con $x := n^2 $ nel tuo caso. Quindi si ha:
$sum_{n = 1}^{+infty} n^{\alpha} \frac{root[5]{2n^3 +n^2} - root[5]{2n^3}}{\log[\frac{2}{\pi} \arctan(n^2)]} = sum_{n = 1}^{+infty} n^{\alpha} frac{root[5]{2n^3}(root[5]{1 + frac{1}{2n}} - 1)}{\log[1 - frac{2}{\pi}arctan(1/n^2)]} $
Ora dovresti essere in grado di concludere...
Grazie! Era la relazione dell'arctan che mi mancava!
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