Serie con parametro

[Esy59]

$sum_(n=2)^(infty) ( (n^2+4n-5)/(n-1)-n+a)^n$
Come studiereste il carattere al variare del parametro $a $ ?
Io to provando con il criterio del rapporto ma dopo le varie semplificazioni torno al punto di partenza e nn riesco a proseguire.. ad impatto misembrava una serie geometrica ma poi tutte quelle $n$ mi hanno portato altrove. ...

[Esy59]

Scriverei il procedimento allora per studiare il carattere ho utilizzato in modo da sbarazzarmi di quell'elevato a $^n $ il criterio della radice .. proprio per tale criterio il $limx->+infty [((5+a)n-5-a)/(n-1)]$ è $= (5+a)$ che sempre per questo criterio converge per $(5+a)<1 = a <-4$ e diverge invece per $(5+a)>1 = a>6$
È corretto????

[pilloeffe]

Ciao Esy59,

Si tratta di un "esercizio trappola" che in realtà è molto semplice, perché $frac{n^2 + 4n - 5}{n - 1} = n + 5 $ per $n \ne 1 $,
per cui si ha:

$ sum_{n = 2}^{+\infty}((n^2+4n-5)/(n-1)-n+a)^n = sum_{n = 2}^{+\infty}(n + 5 - n+a)^n = sum_{n = 2}^{+\infty}(a + 5)^n $

L'ultima scritta è una serie geometrica, a parte i primi due termini, che converge se $|a + 5| < 1 $.
In definitiva si ha:

$ sum_{n = 2}^{+\infty}((n^2+4n-5)/(n-1)-n+a)^n = sum_{n = 2}^{+\infty}(a + 5)^n = - frac{(a + 5)^2}{a + 4} \qquad $ per $ - 6 < a < - 4 $