Serie con parametro
Giorno,
avrei bisogno di una mano con la seguente serie della quale dovrei dire per quali valori di q converge, ho tentato con il criterio del rapporto ma non ci son saltato fuori, un aiutino? Grazie
$ sum_(n = 2)^oo n^-qln(n/(n-n^(1/3))) = sum_(n = 2)^oo (ln(n/(n-n^(1/3))))/n^q $
avrei bisogno di una mano con la seguente serie della quale dovrei dire per quali valori di q converge, ho tentato con il criterio del rapporto ma non ci son saltato fuori, un aiutino? Grazie
$ sum_(n = 2)^oo n^-qln(n/(n-n^(1/3))) = sum_(n = 2)^oo (ln(n/(n-n^(1/3))))/n^q $
Risposte
Ciao sine nomine,
$sum_{n = 2}^{+\infty} n^{-q} ln(n/(n-n^(1/3))) < sum_{n = 2}^{+\infty} n^{-q}$
per cui la serie proposta converge per $q > 1$.
$sum_{n = 2}^{+\infty} n^{-q} ln(n/(n-n^(1/3))) < sum_{n = 2}^{+\infty} n^{-q}$
per cui la serie proposta converge per $q > 1$.
Sicuro? La risposta giusta dovrebbe essere $ q>1/3 $
Beh, la disequazione
$ln(n/(n-n^(1/3))) < 1$
è verificata $\AA n \ge 2$. Poi se vuoi sapere se esistono valori di $q$ minori di $1$ per i quali la serie converge magari sviluppando il $ln$ si può estendere l'intervallo verso lo $0$: ora ci penso... Di certo per $q > 1$ converge.
$ln(n/(n-n^(1/3))) < 1$
è verificata $\AA n \ge 2$. Poi se vuoi sapere se esistono valori di $q$ minori di $1$ per i quali la serie converge magari sviluppando il $ln$ si può estendere l'intervallo verso lo $0$: ora ci penso... Di certo per $q > 1$ converge.
Sì, è vero, converge anche per $frac{1}{3} < q \le 1$, cioè per $q > 1/3$, perché
$\ln (\frac{n}{n-n^{1/3}}) = \ln(\frac{1}{1 - n^{-2/3}})$ [tex]\sim \big(\frac{1}{n}\big)^{2/3}[/tex]
per cui la serie proposta converge per $q + frac{2}{3} > 1 \implies q > frac{1}{3}$
$\ln (\frac{n}{n-n^{1/3}}) = \ln(\frac{1}{1 - n^{-2/3}})$ [tex]\sim \big(\frac{1}{n}\big)^{2/3}[/tex]
per cui la serie proposta converge per $q + frac{2}{3} > 1 \implies q > frac{1}{3}$
Grazie mille!
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