Serie con parametro

[giacomoegidi]

ciao a tutti non riesco a capire quale sia la somma di questa serie. la prima pare dell' esercizio l ho svolta col terorema del rapporto e mi viene che converge per x compresa tra -2 e 2. qualche consiglio? dice posto x=1 calcola la somma

[Antimius]

Dovresti scrivere in formule e non postare delle foto

Comunque ti do un hint: \(\displaystyle \frac{d}{dx} \bigg( \sum \frac{x^{2n}}{n4^n} \bigg) = \sum_{n \geq 1} \frac{2 x^{2n-1}}{4^n} =\sum_{n \geq 0} \frac{2 x^{2n+1}}{4^{n+1}} = \frac{x}{2} \sum_{n \geq 0} \bigg(\frac{x}{2} \bigg)^{2n} = \frac{2x}{4-x^2} \)

EDIT: c'era un piccolo errore di conto, ho corretto.

[giacomoegidi]

si hai ragione scusa!! non capisco perchè hai fatto la derivata??

[sine nomine1]

"giacomo1":si hai ragione scusa!! non capisco perchè hai fatto la derivata??

Credo che Antimius abbia fatto la derivata perchè così ora non ti rimane che integrare ambo i membri e avrai una stima asintotica della tua serie. L'integrale si risolve facilmente per parti se prendi come f=x/4 e come g'=-1/x^2

[Antimius]

Ho fatto la derivata perché puoi trovare la funzione integrando Posto $f(x) = \sum \frac{x^{2n}}{n4^n}$, hai che
$$\begin{cases} f'(x) = \frac{2x}{4-x^2} \\ f(0)=0 \end{cases}$$
Ora determinare $f(1)$ è semplice.

In ogni caso, sarebbe meglio se specificassi cosa stai studiando e in che contesto hai trovato l'esercizio. Hai fatto il teorema di derivazione per serie di potenze?

[giacomoegidi]

analisi I, no mai fatto

[Antimius]

Se non avete visto condizioni su come scambiare serie e derivata, allora probabilmente l'intento dell'esercizio era di farlo con un altro approccio. Per adesso, però, non mi viene in mente un'altra strada