Serie con parametro
Ciao non riesco a risolvere questa serie
$\sum_{n=1}^00 ((n^2+3n+ x)/(n^2+3n+2))^(n^3)$
con x >= 0
ho notato che è a termini positivi e ho provato il criterio della radice ma viene uno.
$\sum_{n=1}^00 ((n^2+3n+ x)/(n^2+3n+2))^(n^3)$
con x >= 0
ho notato che è a termini positivi e ho provato il criterio della radice ma viene uno.
Risposte
Il termine tra parentesi, per qualsiasi valore di $x$, si scrive come
$$1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}$$
Pertanto il termine generale ha la forma
$$a_n=\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^3}=$$
Calcolando il limite per $n\to\infty$ si ottiene
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x-2}{n^2}\right)^{n^2}\right]^n=\lim_{n\to\infty} e^{n(x-2)}=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>2\\ 1 & & x=2\\ 0 & & x<2
\end{array}\right.$$
Quindi la serie potrebbe convergere per $x<2$. A questo punto basta applicare il criterio della radice e ricalcolare un limite simile per ottenere che
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2}\right)^{n^2}=e^{(x-2)}$$
Dal momento che per tale criterio la serie converge quando il limite è minore di $1$, possiamo affermare che $e^{x-2}<1\ \Leftrightarrow\ x<2$ e pertanto questi sono i valori per cui c'è convergenza.
P.S.: il caso di indecisione si avrebbe per $x=2$, in quanto anche in questo caso il limite con il criterio della radice varrebbe $1$: ma per $x=2$ si ha $a_n=1$ e quindi la serie diverge.
$$1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}$$
Pertanto il termine generale ha la forma
$$a_n=\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^3}=$$
Calcolando il limite per $n\to\infty$ si ottiene
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x-2}{n^2}\right)^{n^2}\right]^n=\lim_{n\to\infty} e^{n(x-2)}=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>2\\ 1 & & x=2\\ 0 & & x<2
\end{array}\right.$$
Quindi la serie potrebbe convergere per $x<2$. A questo punto basta applicare il criterio della radice e ricalcolare un limite simile per ottenere che
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2}\right)^{n^2}=e^{(x-2)}$$
Dal momento che per tale criterio la serie converge quando il limite è minore di $1$, possiamo affermare che $e^{x-2}<1\ \Leftrightarrow\ x<2$ e pertanto questi sono i valori per cui c'è convergenza.
P.S.: il caso di indecisione si avrebbe per $x=2$, in quanto anche in questo caso il limite con il criterio della radice varrebbe $1$: ma per $x=2$ si ha $a_n=1$ e quindi la serie diverge.
"ciampax":
Calcolando il limite per $n\to\infty$ si ottiene
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x-2}{n^2+3n+2}\right)^{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{x-2}{n^2}\right)^{n^2}\right]^n=\lim_{n\to\infty} e^{n(x-2)}=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>2\\ 1 & & x=2\\ 0 & & x<2
\end{array}\right.$$
3n+2 sparisce per via degli infiniti?
Sì. In realtà, volendo essere più pignoli, avrei dovuto fare una cosa del genere
$$\left(1+\frac{x-2}{f(n)}\right)^{g(n)}=\left[\left(1+\frac{x-2}{f(n)}\right)^{f(n)/(x-2)}\right]^{(x-2)\cdot g(n)/f(n)}$$
ma il succo è lo stesso (in entrambi i limiti). In questo modo nella parentesi quadra viene $e$ e fuori rimane quell'esponente con cui ho fatto i calcoli.
$$\left(1+\frac{x-2}{f(n)}\right)^{g(n)}=\left[\left(1+\frac{x-2}{f(n)}\right)^{f(n)/(x-2)}\right]^{(x-2)\cdot g(n)/f(n)}$$
ma il succo è lo stesso (in entrambi i limiti). In questo modo nella parentesi quadra viene $e$ e fuori rimane quell'esponente con cui ho fatto i calcoli.
Grazie mille sei stato molto chiaro!
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