Serie con parametro
Ho da studiare la seguente serie parametrica, sono riuscito a studiarla solo per certi valori del parametro.
La serie è
$ sum(x^n/(4^n(1+(1/(2n))^(2n))) $
Allora per $ x=0 $ converge
Per $ x>0 $ Abbiamo una serie a termini positivi
Col confronto asintotico ho ottenuto $ (x/4)^n $ che è una serie geometrica quindi
per $ x>=4 $ la serie diverge positivamente
per $ x <= -4 $ la serie è irregolare
per $ 0
La serie è
$ sum(x^n/(4^n(1+(1/(2n))^(2n))) $
Allora per $ x=0 $ converge
Per $ x>0 $ Abbiamo una serie a termini positivi
Col confronto asintotico ho ottenuto $ (x/4)^n $ che è una serie geometrica quindi
per $ x>=4 $ la serie diverge positivamente
per $ x <= -4 $ la serie è irregolare
per $ 0
Risposte
La serie geometrica $ sum_(k=0)^(+oo)alpha^k $ converge per $ |alpha|<1 $
Quindi io devo considerare $ |x/4|^n $ e quindi
diverge positivamente per $ x>= 4 $
converge per $ 0
diverge positivamente per $ x>= 4 $
converge per $ 0
Per studiare la convergenza tra $ -4
quindi per il criterio del confronto con la serie geometrica di ragione $ x/4 $ la serie data converge assolutamente per $ -4
Riassumendo:
1) per $ x>=4 $ si ha:
$ lim_(nrarr+oo)(x/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))=+oo $
quindi non e' soddisfatto la condizione necessaria di convergenza ed essendo la serie a termini positivi sull'intervallo in questione, essa diverge a $ +oo $.
2) per $ -4
$ (x/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))<=(x/4)^n $
mentre per $ -4
quindi non ci puo' essere convergenza. Resta da dimostrare che la serie non diverge a $ +-oo $ affinche' la serie sia irregolare.
Per esempio cosi: se la serie divergesse a $ +oo $ allora la successione delle somme parziali dovrebbe essere definitivamente a termini positivi. Invece tenendo conto che la serie data per $ x<-4 $ e' $ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(|x|/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n)) $ (sotto per abbreviare la scrittura $ (|x|/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))=alpha_n $) che in modulo e' monotona crescente, per N dispari si ha:
$ S_N=sum_(n=1)^N[-alpha_1+(alpha_2-alpha_3)+(alpha_4-alpha_5)+...+(alpha_(N-1)-alpha_(N))] $
e la quantita' tra le parentesi tonde e' negativa per la monotonia.
Similmente si dimostra che la serie non diverge a $ -oo $.
quindi per il criterio del confronto con la serie geometrica di ragione $ x/4 $ la serie data converge assolutamente per $ -4
Riassumendo:
1) per $ x>=4 $ si ha:
$ lim_(nrarr+oo)(x/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))=+oo $
quindi non e' soddisfatto la condizione necessaria di convergenza ed essendo la serie a termini positivi sull'intervallo in questione, essa diverge a $ +oo $.
2) per $ -4
$ (x/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))<=(x/4)^n $
mentre per $ -4
quindi non ci puo' essere convergenza. Resta da dimostrare che la serie non diverge a $ +-oo $ affinche' la serie sia irregolare.
Per esempio cosi: se la serie divergesse a $ +oo $ allora la successione delle somme parziali dovrebbe essere definitivamente a termini positivi. Invece tenendo conto che la serie data per $ x<-4 $ e' $ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(|x|/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n)) $ (sotto per abbreviare la scrittura $ (|x|/4)^n1/(1+(1/(2n))^(2n))=alpha_n $) che in modulo e' monotona crescente, per N dispari si ha:
$ S_N=sum_(n=1)^N[-alpha_1+(alpha_2-alpha_3)+(alpha_4-alpha_5)+...+(alpha_(N-1)-alpha_(N))] $
e la quantita' tra le parentesi tonde e' negativa per la monotonia.
Similmente si dimostra che la serie non diverge a $ -oo $.
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