Serie con parametro.
Non sono molto convinto dei risultati.
Determinare per quale '' $ainRR$ '' è è convergente la seguente serie:
$sum_{n=1}^(+oo)root(3)(n^3+n)-sqrt(n^2+2n^a)$.
SOLUZIONE.
$a_n=n(1+1/n^2)^(1/3)-n(1+2n^(a-2))^(1/2)$. Dal limite notevole di '' $e$ '', il primo membro tende a: $n*e^(1/(3n^2))ton$.
Allora: $a_n=n[1-sqrt(1+2n^(a-2))]$.
Direi di applicare il criterio della radice e verificare per quale '' $a$ '' sia vero: $0<=root(n)(a_n)<1$. Consideriamo separatamente le due condizioni, per poi verificare.
- $root(n)(n[1-sqrt(1+2n^(a-2))])<1$. Dopo qualche conto: $2n^a+2n-1>0$. Da cui: $AAainRR$.
- $root(n)(n[1-sqrt(1+2n^(a-2))])>=0$.
$n(1-sqrt(1+2n^(a-2)))>=0$. $sqrt(1+2n^(a-2))<=1$.
$2n^(a-2)<=0$. La negatività non è possibile, al massimo la tendenza a '' $0$ ''.
Per '' $a<2$ '' ( si interseca con l'altro risultato ) la radice tende a '' $0$ '', da cui la convergenza della serie.
Però non sono ancora molto convinto.
Determinare per quale '' $ainRR$ '' è è convergente la seguente serie:
$sum_{n=1}^(+oo)root(3)(n^3+n)-sqrt(n^2+2n^a)$.
SOLUZIONE.
$a_n=n(1+1/n^2)^(1/3)-n(1+2n^(a-2))^(1/2)$. Dal limite notevole di '' $e$ '', il primo membro tende a: $n*e^(1/(3n^2))ton$.
Allora: $a_n=n[1-sqrt(1+2n^(a-2))]$.
Direi di applicare il criterio della radice e verificare per quale '' $a$ '' sia vero: $0<=root(n)(a_n)<1$. Consideriamo separatamente le due condizioni, per poi verificare.
- $root(n)(n[1-sqrt(1+2n^(a-2))])<1$. Dopo qualche conto: $2n^a+2n-1>0$. Da cui: $AAainRR$.
- $root(n)(n[1-sqrt(1+2n^(a-2))])>=0$.
$n(1-sqrt(1+2n^(a-2)))>=0$. $sqrt(1+2n^(a-2))<=1$.
$2n^(a-2)<=0$. La negatività non è possibile, al massimo la tendenza a '' $0$ ''.
Per '' $a<2$ '' ( si interseca con l'altro risultato ) la radice tende a '' $0$ '', da cui la convergenza della serie.
Però non sono ancora molto convinto.
Risposte
Quel confronto che fai con la prima radice ti fa perdere informazioni. Io andrei a guardare, separatamente, come si comportano le due radici asintoticamente, tenendo conto che a secondo dei valori di $a-2$ le cose cambiano nella seconda.
Grazie.
La cosa di cui sono certo è che, all'inizio, l'ordine di grandezza degli '' $n$ '' estratti dalle rispettive radici deve essere lo stesso. Altrimenti la differenza sarebbe infinita e la sommatoria di questi infiniti valori tenderebbe ad infinito.
Solo che non mi è chiaro in che modo perdo le informazioni.
Riprendendo: $a_n=n[1-sqrt(1+2n^(a-2))]$. Affinché l'ordine di grandezza sia lo stesso dev'essere almeno '' $a<2$ ''.
Ricollegandomi a prima, è meglio tenere '' $n*e^(1/(3n^2))$ '' al posto di '' $n$ '', poiché alla fine verrebbe ( dove c'era al secondo membro '' $1$ '' ):
$sqrt(1+2n^(a-2))<=e^(1/(3n^2))$. Così si evita: $2n^(a-2)<=0$.
Viene da un limite notevole: $2n^(a-2)<=2/(3n^2)$. Da cui: $n^a<=1/3$. Allora: $a<=log_{n}^(1/3)$. Pertanto: $a<0$.
Forse intendevi questo per informazione perduta, che ora ho recuperato.
La cosa di cui sono certo è che, all'inizio, l'ordine di grandezza degli '' $n$ '' estratti dalle rispettive radici deve essere lo stesso. Altrimenti la differenza sarebbe infinita e la sommatoria di questi infiniti valori tenderebbe ad infinito.
Solo che non mi è chiaro in che modo perdo le informazioni.
Riprendendo: $a_n=n[1-sqrt(1+2n^(a-2))]$. Affinché l'ordine di grandezza sia lo stesso dev'essere almeno '' $a<2$ ''.
Ricollegandomi a prima, è meglio tenere '' $n*e^(1/(3n^2))$ '' al posto di '' $n$ '', poiché alla fine verrebbe ( dove c'era al secondo membro '' $1$ '' ):
$sqrt(1+2n^(a-2))<=e^(1/(3n^2))$. Così si evita: $2n^(a-2)<=0$.
Viene da un limite notevole: $2n^(a-2)<=2/(3n^2)$. Da cui: $n^a<=1/3$. Allora: $a<=log_{n}^(1/3)$. Pertanto: $a<0$.
Forse intendevi questo per informazione perduta, che ora ho recuperato.
No, intendevo procedere così: per prima cosa sappiamo che $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$ quando $x\to 0$, per cui
$$\sqrt[3]{n^3+n}=n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}\sim n\left(1+\frac{1}{3n^2}\right)$$
$$\sqrt{n^2+n^\alpha}=n\sqrt{1+n^{\alpha-2}}\sim \left\{\begin{array}{lcl}n\left(1+\frac{1}{2n^{2-\alpha}}\right) & & \alpha<2\\ \sqrt{2} n & & \alpha=2\\ n^{\alpha/2} & & \alpha>2
\end{array}\right.$$
Ora prova a considerare i vari casi.
$$\sqrt[3]{n^3+n}=n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}\sim n\left(1+\frac{1}{3n^2}\right)$$
$$\sqrt{n^2+n^\alpha}=n\sqrt{1+n^{\alpha-2}}\sim \left\{\begin{array}{lcl}n\left(1+\frac{1}{2n^{2-\alpha}}\right) & & \alpha<2\\ \sqrt{2} n & & \alpha=2\\ n^{\alpha/2} & & \alpha>2
\end{array}\right.$$
Ora prova a considerare i vari casi.
Ho modificato il primo post: $sum_{n=1}^(+oo)root(3)(n^3+n)-sqrt(n^2+2n^a)$.
Avevo riportato male il testo, nonostante abbia riportato bene la soluzione.
Dunque:
- Per '' $a>=2$ '': la serie diverge.
- Per '' $a<2$ '': $n+1/3n-n-n/(4n^(2-a))=(4n^(2-a)-3n^2)/(12n^(3-a))$. Riconducibile alla convergenza per '' $0
Ti ringrazio.
Avevo riportato male il testo, nonostante abbia riportato bene la soluzione.
Dunque:
- Per '' $a>=2$ '': la serie diverge.
- Per '' $a<2$ '': $n+1/3n-n-n/(4n^(2-a))=(4n^(2-a)-3n^2)/(12n^(3-a))$. Riconducibile alla convergenza per '' $0
Ti ringrazio.
Concordo con quanto dici relativamente a $a\ge 2$, ma non con quello che accade per $a<2$. Io credo che la serie non converga mai, sai?
Per '' $0](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ho fatto così tanti esercizi in questi giorni, che sono ormai fuso.
Davvero.
Ho fatto così tanti esercizi in questi giorni, che sono ormai fuso.
Davvero.
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