Serie con parametro
Salve a tutti! Ho delle difficoltà nel risolvere questa serie con parametro: l'esercizio mi chiede di studiare il comportamento della serie al variare di α in R.
il termine generale della serie è :
$[α^(2n)+2^(n)]/3^(n)$
(la serie va da 0 a +infinito)
Vi ringrazio in anticipo.. non riesco a venirne a capo!
il termine generale della serie è :
$[α^(2n)+2^(n)]/3^(n)$
(la serie va da 0 a +infinito)
Vi ringrazio in anticipo.. non riesco a venirne a capo!
Risposte
prova a scriverla cosi
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n} }{3^n}+ \frac{ 2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n
\end{align}
ed usare la linearità per concludere...
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n} }{3^n}+ \frac{ 2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n
\end{align}
ed usare la linearità per concludere...
Mmm scusami ma sono alle prime armi e non mi è molto chiaro :
Essenzialmente il mio dubbio è questo: ho verificato che la serie è sempre a termini positivi. Ma per α minore di 0?
Essenzialmente il mio dubbio è questo: ho verificato che la serie è sempre a termini positivi. Ma per α minore di 0?
si la serie è sempre a termini positivi; vista la forma del termine generale, conviene spezzare la serie in due e cercare di usare la linearità, cioè il fatto che se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ converge allora anche la serie $\sum a_n+b_n$ converge; nel tuo caso per concludere che la serie converge devi semplicemente assicurarti che la prima somma converga, cioè
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n} \]
in quanto la seconda è una serie geometrica di ragione minore di uno e quindi sicuramente convergente
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n\to\mbox{converge}\]
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n} \]
in quanto la seconda è una serie geometrica di ragione minore di uno e quindi sicuramente convergente
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n\to\mbox{converge}\]
@ Noisemaker: Non si può applicare la proprietà associativa così a casaccio, perima di aver stabilito se la serie converge o meno.
Quindi scrivere:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n
\]
non è lecito.
La serie si risolve applicando il criterio della radice: infatti si trova:
\[
\sqrt[n]{\frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}} = \begin{cases} \frac{\alpha^2}{3}\ \sqrt[n]{1+\frac{2^n}{\alpha^{2n}}} &\text{, se } \alpha^2>2 \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &\text{, se } \alpha^2=2 \\ \frac{2}{3}\ \sqrt[n]{1+\frac{\alpha^{2n}}{2^n}} &\text{, se } \alpha^2< 2 \end{cases}
\]
e di qui si traggono le dovute conclusioni.
Quindi scrivere:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n
\]
non è lecito.
La serie si risolve applicando il criterio della radice: infatti si trova:
\[
\sqrt[n]{\frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}} = \begin{cases} \frac{\alpha^2}{3}\ \sqrt[n]{1+\frac{2^n}{\alpha^{2n}}} &\text{, se } \alpha^2>2 \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &\text{, se } \alpha^2=2 \\ \frac{2}{3}\ \sqrt[n]{1+\frac{\alpha^{2n}}{2^n}} &\text{, se } \alpha^2< 2 \end{cases}
\]
e di qui si traggono le dovute conclusioni.
"gugo82":
@ Noisemaker: Non si può applicare la proprietà associativa così a casaccio, perima di aver stabilito se la serie converge o meno.
Quindi scrivere:
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha^{2n}+2^n}{3^n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\alpha^{2 } }{3 }\right)^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{ 2 }{3 }\right)^n
\]
non è lecito.
hai ragione, ma io ho pensato questo:
non ottenendo una forma indeterminata, in quanto una somma è in ogni caso un numero essendo una serie geometrica convergente... quindi invocando la linearità si poteva concludere studiando solo la prima serie ...
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