Serie con logaritmo e fattoriale

[alessioben]

Ciao,
mi sa che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua..ma non riesco a capire come questa serie converga.
$ sum_(n = 2)^(∞)1/(nlog(n!) $

Ho provato il criterio del rapporto, di condensazione di Cauchy, del confronto etc... ma niente.

Qualche suggerimento?

Grazie

[ingres]

Potresti utilizzare la formula di Stirling del fattoriale https://it.wikipedia.org/wiki/Approssim ... i_Stirling, per trovare l'ordine di infinitesimo del termine n-simo e poi applicare il relativo criterio.

[alessioben]

Ecco perché non ci riuscivo, non abbiamo fatto quella formula mentre nel libro dove ho preso gli esercizi c'è. Comunque me la guardo. Grazie mille!

[Mephlip]

Un altro modo, che non usa la formula di Stirling, è il seguente. Osserviamo che:
$$\log n!=\log \prod_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^n \log k=\sum_{k=1}^n \log \left(n\frac{k}{n}\right)=\sum_{k=1}^n \left(\log n+\log \frac{k}{n}\right)=n \log n+n\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{k}{n}$$
$$\implies n\log n!=n^2\log n\left(1+\frac{1}{\log n}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{k}{n}\right)$$
Dato che:
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \frac{k}{n}=\int_0^1 \log x \text{d}x=-1$$
Segue che $n \log(n!) \approx n^2\log n$ per $n\to+\infty$; da ciò, si deduce per confronto asintotico che la serie proposta converge.

[pilloeffe]

Ciao alessioben,

La serie proposta è già stata vista e risolta qui.

[alessioben]

Grazie mille a tutti per i suggerimenti.

Sto cercando di capire come usare la formula di Stirling, ma una volta che ho applicato l'approsimazione come vado avanti? Ho provato dopo a usare il criterio di condensazione di Cauchy ma rimango bloccato. Oppure cercavo di confrontarla con un altra serie, però il logaritmo non mi lascia trovare confronti

$ sum(1/(nlog(n^(1/2+n)e^(-n)))) $

[Mephlip]

Usa le proprietà dei logaritmi e il confronto asintotico.

[alessioben]

$ sum(1/(n(1/2logn+nlogn-n))) $
Da qui sto cercando un confronto asintotico

[Mephlip]

Chi domina al denominatore per $n\to+\infty$?

[alessioben]

$ n^2 $ ? Quindi è asintotica a $ sum1/n^2 $ e converge?

[Mephlip]

Puoi provare a convincermi che domina $n^2$ al denominatore? Te lo chiedo perché per me non è così, e vorrei vedere perché secondo te è così.

[alessioben]

Aspetta, non avevo visto l' $ n $ che c'era prima del secondo termine della parentesi tonda.
Domina $ n^2logn $ perché $ logn

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[Mephlip]

Sì, domina $n^2 \log n$. Comunque, con "dominare" intendo che gli altri addendi tendono a $0$ se ne fai il rapporto con il candidato addendo dominante. Ora, non so se hai visto le variazioni delle serie armoniche notevoli aventi anche i logaritmi, ma per $n_0 \ge 2$ fissato le serie del tipo:
$$\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^a \log^b n}$$
se $a>1$ convergono per ogni $b \in \mathbb{R}$. Quindi, per confronto asintotico, hai concluso.

[alessioben]

Quella in particolare l'avevo vista. E' che non sapevo come fare per ricondurmi a quella. In pratica devo raccogliere il termine che domina e alla fine studiare quello.

Grazie!!