Serie con il seno
Devo studiafe il carattere della serie $ ((n+1)/(2n+1))^(n^(2)sen1/n) $,ho applicato il criterio della radice,ma.....non so, ho quindi considerato $sen1/n $, limitata e quindi avrei $((n+1)/(2n+1))^n$ cioè $ (1/2)^n $ , che è una serie geometrica non convergente ?
Risposte
se la serie e questa
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}
\end{align}
applicando il criterio della radice come hai fatto tu, si ha
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}} =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n \sin\frac{1}{n}} =\frac{1}{2}
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}
\end{align}
applicando il criterio della radice come hai fatto tu, si ha
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n^2\sin\frac{1}{n}}} =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n \sin\frac{1}{n}} =\frac{1}{2}
Scusa è quella che ho modificato, il seno è all'esponente.
"maria60":
$(1/2)^n$ , che è una serie geometrica non convergente ?
quella è una serie armonica convergente...la ragione è compresa tra 0 e 1...
cosiderando $ 1/2$ ciò che sta in parentesi, ma l'esponente che fine fa ?
l'esponente va a $1$
"laura123":
[quote="maria60"]$(1/2)^n$ , che è una serie geometrica non convergente ?
quella è una serie armonica convergente...la ragione è compresa tra 0 e 1...[/quote]
No laura: questa è una serie geometrica, perché il termine generale è della forma $q^n$. Il termine generico della serie armonica generalizzata è $1/n^p$
@maria: la serie geometrica è convergente per $|q|<1$ quindi quella converge.
"ciampax":
No laura: questa è una serie geometrica, perché il termine generale è della forma q^n. Il termine generico della serie armonica generalizzata è 1/n^p
sisi lapsus scribendi
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