Serie con fattoriali

[Obionekenobi1]

Devo provare che $\sum_{k=0}^(L-1) ((L-1+k),(k))=((2L-1),(L))$. Ho provato una dimostrazione per induzione ma non mi riesce. Qualcuno ha qualche idea? Grazie.

[_prime_number]

Presente lo sviluppo del binomio di Newton?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomiale
Pensa a cosa accade se $a=b=1$.

Paola

[Obionekenobi1]

Certo che lo conosco. Se faccio come dici tu mi viene che $2^n=\sum_{k=0}^n ((n),(k)) $. Ma non capisco come questo centri col mio caso visto che nella mia formula "k sta sopra e sotto" nel coefficiente binomiale.

[Obionekenobi1]

Nessuno ha qualche altro suggerimento??

[Seneca1]

Dove ti blocchi usando l'induzione? Posta i passaggi.

[Obionekenobi1]

La base dell'induzione è ovvia. Supponiamo ora che l'identità sia vera per L=N, cioè che

$\sum_{k=0}^(N-1) ((N-1+k),(N-1))=((2N-1),(N-1))$ (*)

e proviamo a far vedere che lo è pure per L=N+1, ossia che

$\sum_{k=0}^N ((N+k),(N))=((2N+1),(N+1))$ (**)

Sommando ad ambo i membri della (*) la quantità $((2N-1),(N))+((2N),(N+1))$, e ricordando che $((a),(b))=((a-1),(b))+((a-1),(b-1))$ , si ha il secondo membro della (**), ma non riesco a scrivere il primo membro.