Serie con fattoriale ed esponenziale
Salve a tutti,
Sto cercando di determinare il carattere della serie
$ sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{(n+1)^n} $
Per il criterio del confronto sto usando la serie
$ sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{n^n} > sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{(n+1)^n} $
che mi sembra più facile da usare, e per studiarne il carattere uso il criterio del rapporto:
$ lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n to infty} frac{(n+1)^2 !}{(n+1)^{n+1}} cdot frac{n^n}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} frac{n ^ n}{(n+1)^{n+1}} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} (frac{n}{(n+1)})^n cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} (1-frac{1}{(n+1)})^{n cdot (frac {-(n+1)}{-(n+1)})} cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} e^{frac {n}{-(n+1)}} cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
Da qui in poi non so bene come proseguire...
Sapreste come continuare? Mille grazie a tutti
Sto cercando di determinare il carattere della serie
$ sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{(n+1)^n} $
Per il criterio del confronto sto usando la serie
$ sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{n^n} > sum_{n = 1} ^ {infty} frac{n^2 !}{(n+1)^n} $
che mi sembra più facile da usare, e per studiarne il carattere uso il criterio del rapporto:
$ lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n to infty} frac{(n+1)^2 !}{(n+1)^{n+1}} cdot frac{n^n}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} frac{n ^ n}{(n+1)^{n+1}} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} (frac{n}{(n+1)})^n cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} (1-frac{1}{(n+1)})^{n cdot (frac {-(n+1)}{-(n+1)})} cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
$ = lim_{n to infty} e^{frac {n}{-(n+1)}} cdot frac{1}{n+1} cdot frac{(n+1)^2 !}{n^2 !} $
Da qui in poi non so bene come proseguire...
Sapreste come continuare? Mille grazie a tutti
Risposte
Dipende un po' da quali strumenti possiedi. Sarebbe molto facile se tu conoscessi l'approssimazione di Stirling e il criterio del confronto asintotico, li hai studiati a lezione?
Alternativamente: hai che $(n+1)^2=n^2+2n+1$ e, dato che $2n \ge 0$ per ogni $n \in\mathbb{N}$, si ha $2n+1>0$ per ogni $n\in \mathbb{N}$. Perciò $n^2+2n+1>n^2$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ con $2n+1$ intero, quindi risulta:
$$[(n+1)^2]!=(n^2+2n+1)!=(n^2+2n+1)(n^2+2n)\dots (n^2+1)(n^2)!$$
Riesci a concludere ora? Potresti anche calcolare solo il limite della successione sotto il segno di serie, senza necessariamente usare il criterio del rapporto.
Comunque: non si passa al limite a pezzi. Devi mandare $n \to \infty$ simultaneamente in tutta la successione, non puoi far tendere solamente $\left(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$ ad $e^{-1}$ lasciando tutto il resto che dipende da $n$ come se $n$ non fosse andato a $\infty$. Questo ti porta, in generale, a risultati falsi.
Alternativamente: hai che $(n+1)^2=n^2+2n+1$ e, dato che $2n \ge 0$ per ogni $n \in\mathbb{N}$, si ha $2n+1>0$ per ogni $n\in \mathbb{N}$. Perciò $n^2+2n+1>n^2$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ con $2n+1$ intero, quindi risulta:
$$[(n+1)^2]!=(n^2+2n+1)!=(n^2+2n+1)(n^2+2n)\dots (n^2+1)(n^2)!$$
Riesci a concludere ora? Potresti anche calcolare solo il limite della successione sotto il segno di serie, senza necessariamente usare il criterio del rapporto.
Comunque: non si passa al limite a pezzi. Devi mandare $n \to \infty$ simultaneamente in tutta la successione, non puoi far tendere solamente $\left(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$ ad $e^{-1}$ lasciando tutto il resto che dipende da $n$ come se $n$ non fosse andato a $\infty$. Questo ti porta, in generale, a risultati falsi.
Io farei direttamente così:
dato che stiamo ragionando sui naturali, puoi maggiorare la serie come:
Dove ho usato che: $(n^2)!\le n!$ e che $(n+1)^n \ge n^n$.
A questo punto basta studiare la serie $ \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$ con il criterio del rapporto:
A questo punto basta osservare che:
E questo $(n+1)$ se ne va con l'ultimo termine $1/(n+1)$.
Dunque alla fine riesci facilmente a dedurre che:
Essendo $1/e<1$, la serie con cui hai maggiorato converge per il criterio del rapporto, dunque, essendo la tua serie di partenza a termini positivi, puoi concludere che converge.
Formalmente, utilizzi il teorema dei carabinieri:
E, dato che le due serie laterali convergono, converge anche la tua serie centrale
dato che stiamo ragionando sui naturali, puoi maggiorare la serie come:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2)!}{(n+1)^n}\le \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$
Dove ho usato che: $(n^2)!\le n!$ e che $(n+1)^n \ge n^n$.
A questo punto basta studiare la serie $ \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$ con il criterio del rapporto:
$\lim_(n\to\infty) \frac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}\cdot \frac{n^n}{n!}
= \lim_(n\to\infty)\frac{(n+1)!}{n!}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot 1/(n+1) $
= \lim_(n\to\infty)\frac{(n+1)!}{n!}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot 1/(n+1) $
A questo punto basta osservare che:
$ \lim_(n\to\infty) \left( n/(n+1)\right)^n = \frac{1}{left((n+1)/n\right)^n} = 1/e$
$((n+1)!)/(n!) = ((n+1)n!)/(n!)= (n+1)$
E questo $(n+1)$ se ne va con l'ultimo termine $1/(n+1)$.
Dunque alla fine riesci facilmente a dedurre che:
$\lim_(n\to\infty) (a_(n+1))/(a_n) = 1/e$
Essendo $1/e<1$, la serie con cui hai maggiorato converge per il criterio del rapporto, dunque, essendo la tua serie di partenza a termini positivi, puoi concludere che converge.
Formalmente, utilizzi il teorema dei carabinieri:
$0\le \sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2)!}{(n+1)^n}\le \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}$
E, dato che le due serie laterali convergono, converge anche la tua serie centrale
@Lebesgue: purtroppo non funziona, perché questo
non è vero in generale per $n \in \mathbb{N}$, se non per $n=0$ ed $n=1$ per cui vale l'uguaglianza.
"Lebesgue":
Dove ho usato che: $(n^2)!\le n!$
non è vero in generale per $n \in \mathbb{N}$, se non per $n=0$ ed $n=1$ per cui vale l'uguaglianza.
ho capito, grazie mille a entrambi.
O sennò se vuoi proseguire per la strada che avevi intrapreso sviluppi quel rapporto e ti accorgi che il limite è infinito, il che non è tanto di aiuto perchè quella serie maggiora la tua, ma se fai lo stesso procedimento con la serie di partenza, al netto di qualche piccola complicazione nei calcoli dovrebbe venirti bene.
"Mephlip":
@Lebesgue: purtroppo non funziona, perché questo
[quote="Lebesgue"]Dove ho usato che: $(n^2)!\le n!$
non è vero in generale per $n \in \mathbb{N}$, se non per $n=0$ ed $n=1$ per cui vale l'uguaglianza.[/quote]
Rido perché ho scritto una enorme cavolata, mi ero confuso con il segno della diseguaglianza 
Chiedo scusa ancora
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