Serie con esponenziale
Dovrei studiare il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-\ln^{2} n}$
Ho provato col criterio del rapporto ma non mi da alcuna informazione in quanto $\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-\ln^{2} (n+1)+\ln^{2} (n)}=e^{\ln^{2} (n/(n+1))} \to 1$
Che metodo potrei provare?
$\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-\ln^{2} n}$
Ho provato col criterio del rapporto ma non mi da alcuna informazione in quanto $\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-\ln^{2} (n+1)+\ln^{2} (n)}=e^{\ln^{2} (n/(n+1))} \to 1$
Che metodo potrei provare?
Risposte
Fossi in te proverei col criterio di condensazione di cauchy.
Proviamo....
( Se poi applichi il criterio della radice viene fuori che converge )
Allora...
Non so se è giusto, ma a me viene così:
Secondo suddetto criterio la serie ha lo stesso carattere della seguente
$\sum 2^n e^{-\ln^{2} 2^n}=\sum \frac{2^n}{e^{n\ln^{2} 2}}=\sum (\frac{2}{e^{\ln^{2} 2}})^n$ che è una serie geometrica di ragione maggiore di 1 e dunque diverge. Allora la serie data diverge. (*)
(*) L'ho riscritta meglio.
Non so se è giusto, ma a me viene così:
Secondo suddetto criterio la serie ha lo stesso carattere della seguente
$\sum 2^n e^{-\ln^{2} 2^n}=\sum \frac{2^n}{e^{n\ln^{2} 2}}=\sum (\frac{2}{e^{\ln^{2} 2}})^n$ che è una serie geometrica di ragione maggiore di 1 e dunque diverge. Allora la serie data diverge. (*)
(*) L'ho riscritta meglio.
"Orlok":
Allora...
Non so se è giusto, ma a me viene così:
Secondo suddetto criterio la serie ha lo stesso carattere della seguente
$\sum 2^n e^{-\ln^{2} 2^n}=\sum \frac{2^n}{e^{n\ln^{2} 2}}$ che è una serie geometrica di ragione maggiore di 1 e dunque diverge. Allora la serie data diverge.
$ sum 2^n \cdot e^(-(ln(2^n)^2)) = sum 2^n/e^((n\cdot ln2)^2) $
Quando tiri fuori la n dall'esponente nel logaritmo, anche esso è al quadrato!
$lim_n root(n) (2^n/e^((n\cdot ln2)^2)) = lim_n 2/e^(n \cdot ln2^2 ) = 0$
Ah ecco. Mi ero confuso nel considerare il quadrato del logaritmo. Grazie.
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